Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n＋2－4.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=an·log2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：

(1)由題意，分類討論n≥2和n=1兩種情況可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n＋1，n∈N*.

(2)結(jié)合(1)的結(jié)果可知bn=anlog2an=(n＋1)·2n＋1，錯(cuò)位相減可得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n·2n＋2.

試題解析：

(1)由題意，Sn=2n＋2－4，

n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=2n＋2－2n＋1=2n＋1，

當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=23－4=4，也適合上式，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n＋1，n∈N*.

(2)∵bn=anlog2an=(n＋1)·2n＋1，

∴Tn=2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①

2Tn=2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②

②－①得，

Tn=－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2

=－23－＋(n＋1)·2n＋2

=－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2

=(n＋1)·2n＋2－23·2n－1

=(n＋1)·2n＋2－2n＋2=n·2n＋2.