Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知圓心在x軸上,半徑為2的圓C位于y軸右側,且與直線x- y+2=0相切.

(1)求圓C的方程.

(2)在圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=1與圓O:x2+y2=1相交于不同的兩點A,B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標及對應的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (x-2)2+y2=4(x≠0) (2) .

【解析】分析：（1）設圓心坐標，半徑為2，與直線x- y+2=0相切，則圓心到直線的距離等于半徑，列方程式求解即可。

（2）點在圓上，則，的面積為，利用幾何性質，列出面積的表達式，求最值即可。

解析：(1)設圓心是(x0,0)(x0>0),它到直線x-y+2=0的距離是d==2,

解得x0=2或x0=-6(舍去),所以所求圓C的方程是(x-2)2+y2=4(x≠0).

(2)存在.理由如下:因為點M(m,n)在圓C上,

所以(m-2)2+n2=4,

n2=4-(m-2)2=4m-m2且0≤m≤4.又因為原點到直線l:

mx+ny=1的距離h<1,解得<m≤4,而|AB|=2,

所以S△OAB=|AB|·h=因為≤<1,

所以當=,即m=時,S△OAB取得最大值,

此時點M的坐標是△OAB的面積的最大值是.