Question

【題目】已知等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為Sn，S2n，S3n，求證：=Sn(S2n＋S3n).

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】試題分析：

設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，分類討論：

當(dāng)q=1時(shí)，則Sn=na1，S2n=2na1，S3n=3na1，滿足,

當(dāng)q≠1時(shí)，則Sn=，S2n=，S3n=，據(jù)此計(jì)算可知也滿足.

綜上可得題中的等式成立.

試題解析：

設(shè)此等比數(shù)列的公比為q，首項(xiàng)為a1，

當(dāng)q=1時(shí)，則Sn=na1，S2n=2na1，S3n=3na1，

S＋S=n2a＋4n2a=5n2a，Sn(S2n＋S3n)=na1(2na1＋3na1)=5n2a，

∴S＋S=Sn(S2n＋S3n).

當(dāng)q≠1時(shí)，則Sn=，S2n=，S3n=，

∴S＋S=·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]=·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n).

又Sn(S2n＋S3n)=·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，∴S＋S=Sn(S2n＋S3n).