【題目】如圖， 面， ， ， 為的中點．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在線段上是否存在點，使得，若存在，求出的值，若不存在，說明理由．

【答案】（）見解析（）（）見解析.

【解析】試題分析：（1）， ，所以平面；（2）建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值；（3）由點在線段上，則， ，由，得，所以存在點。

試題解析：

（）證明：∵平面， 平面，

∴．

∵， ，

∴平面．

又平面，

∴．

∵， 為的中點，

∴．

又∵，

∴平面．

（）如圖，在平面內(nèi)作，則， ， 兩兩垂直，建立空間直角坐標系．則， ， ， ， ．

， ， ．

設平面的法向量為，則：

，即，令，則．

∴．

由（）可知為平面的一個法向量，

∴．

∵二面角為銳角，

∴二面角的余弦值為．

（）證明：設是線段上一點，且， ，

即，

∴， ， ．

∴．

由，得，

∴線段上存在點，使得，此時．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某項競賽分為初賽、復賽、決賽三個階段進行，每個階段選手要回答一個問題.規(guī)定正確回答問題者進入下一階段競賽，否則即遭淘汰.已知某選手通過初賽、復賽、決賽的概率分別是 ，且各階段通過與否相互獨立.

（1）求該選手在復賽階段被淘汰的概率；

（2）設該選手在競賽中回答問題的個數(shù)為，求的分布列、數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱柱中， 底面， ， ，且， ．點在棱上，平面與棱相交于點．

（Ⅰ）求證： 平面．

（Ⅱ）求證： 平面．

（Ⅲ）求三棱錐的體積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】對于數(shù)集，其中， ，定義向量集．若對于任意，使得，則稱具有性質(zhì)．例如具有性質(zhì)．

（）若，且具有性質(zhì)，求的值．

（）若具有性質(zhì)，求證： ，且當時， ．

（）若具有性質(zhì)，且， （為常數(shù)），求有窮數(shù)列， ， ， 的通項公式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，設點是橢圓： 上一點，從原點向圓： 作兩條切線分別與橢圓交于點， ，直線， 的斜率分別記為， .　

（1）求證： 為定值；

（2）求四邊形面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在 中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，且， .

（1）求的面積.

（2）已知等差數(shù)列的公差不為零，若，且成等比數(shù)列，求的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在極坐標系中，曲線的方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為，（ 為參數(shù)）

（1）求曲線的參數(shù)方程和曲線的普通方程；

（2）求曲線上的點到曲線的距離的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}的首項， ， ．

(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)記，若Sn<100，求最大正整數(shù)n；

(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列，且am－1，as－1，an－1成等比數(shù)列？如果存在，請給以證明；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】劉徽（約公元 225 年—295 年）是魏晉時期偉大的數(shù)學家，中國古典數(shù)學理論的奠基人之一，他的杰作《九章算術注》和《海島算經(jīng)》是中國寶貴的古代數(shù)學遺產(chǎn). 《九章算術·商功》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩壍堵. 斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑.” 劉徽注：“此術臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云.” 其實這里所謂的“鱉臑（biē nào）”，就是在對長方體進行分割時所產(chǎn)生的四個面都為直角三角形的三棱錐. 如圖，在三棱錐中， 垂直于平面， 垂直于，且 ，則三棱錐的外接球的球面面積為__________.

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