Question

【題目】對(duì)于數(shù)集，其中， ，定義向量集．若對(duì)于任意，使得，則稱具有性質(zhì)．例如具有性質(zhì)．

（）若，且具有性質(zhì)，求的值．

（）若具有性質(zhì)，求證： ，且當(dāng)時(shí)， ．

（）若具有性質(zhì)，且， （為常數(shù)），求有窮數(shù)列， ， ， 的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）見解析；（3）， ， ， ， ，

【解析】試題分析：（Ⅰ）由于具有該性質(zhì)，所以必有任意向量都存在垂直向量，可以求出值。

（Ⅱ）取，設(shè)滿足，可得， 、中之一為-1，另一為1，故1X，然后只要用反證法證明之間不存在即可；

（Ⅲ）可以利用后一項(xiàng)比前一項(xiàng)的比值建立數(shù)集，最終求出后一項(xiàng)與前一項(xiàng)比是定值，從而是等比數(shù)列.

試題解析：

（1）選取，Y中與垂直的元素必有形式.

所以x=2b，從而x=4.

（2）證明：取.設(shè)滿足.

由得，所以、異號(hào).

因?yàn)?1是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為-1，另一為1，

故1X.

假設(shè)，其中，則.

選取，并設(shè)滿足，即，

則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為-1.

若=-1，則，矛盾；

若=-1，則，矛盾.

所以x1=1.

（3）設(shè)，，則等價(jià)于。

記，則數(shù)集具有性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)數(shù)集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

注意到是中的唯一負(fù)數(shù)，共有個(gè)數(shù)，所以也只有個(gè)數(shù)。

由于，已有個(gè)數(shù)，對(duì)以下三角數(shù)陣，

，。

注意到，所以，從而數(shù)列的通項(xiàng)為。