如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上．
（Ⅰ）求異面直線D1E與A1D所成的角；
（Ⅱ）若二面角D1-EC-D的大小為45°，求點(diǎn)B到平面D1EC的距離．
考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,二面角的平面角及求法
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：解法一：（Ⅰ）連結(jié)AD1．判斷AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影．得到異面直線D1E與A1D所成的角．
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足為F，連結(jié)D1F，說明∠DFD1為二面角D1-EC-D的平面角，∠DFD1=45°．利用等體積法，求點(diǎn)B到平面D1EC的距離．
解法二：分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）通過向量的數(shù)量積為0，即可求異面直線D1E與A1D所成的角；
（Ⅱ）
m
=（0，0，1）為面DEC的法向量，設(shè)
n
=（x，y，z）為面CED1的法向量，通過二面角D1-EC-D的大小為45°，求出x、y、z的關(guān)系，結(jié)合
n
⊥
D1C
，求出平面的法向量，利用d=
|
CB
•
n
|
|
n
|
求點(diǎn)B到平面D1EC的距離．
解答： 解：解法一：（Ⅰ）連結(jié)AD1．由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D．
∵AB⊥平面AA1D1D，
∴AD1是D1E在平面AA1D1D內(nèi)的射影．
根據(jù)三垂線定理得AD1⊥D1E，
則異面直線D1E與A1D所成的角為90°．…（5分）
（Ⅱ）作DF⊥CE，垂足為F，連結(jié)D1F，則CE⊥D1F．
所以∠DFD1為二面角D1-EC-D的平面角，∠DFD1=45°．于是DF=DD1=1，D1F=
2
，
易得 Rt△BCE≌Rt△CDF，所以CE=CD=2，又BC=1，所以BE=
3
．
設(shè)點(diǎn)B到平面D1EC的距離為h，則由于VB-CED1=VD-BCE，即f'（x），
因此有CE•D1F•h=BE•BC•DD1，即2
2
h=
3
，∴h=
6
4
．…..…（12分）
解法二：如圖，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）由A1（1，0，1），得
DA1
=(1，0，1)，
設(shè)E（1，a，0），又D1（0，0，1），則
D1E
=(1，a，-1)．
∵
DA1
•
D1E
=1+0-1=0∴
DA1
⊥
D1E
，則異面直線D1E與A1D所成的角為90°．…（5分）
（Ⅱ）
m
=（0，0，1）為面DEC的法向量，設(shè)
n
=（x，y，z）為面CED1的法向量，
則|cos＜
m
，
n
＞|=
|
m
•
n
|
|
m
||
n
|
=
|z|
x2+y2+z2
=cos45°=
2
2
，
∴z2=x2+y2．①
由C（0，2，0），得
D1C
=(0，2，-1)，則
n
⊥
D1C
，即
n
•
D1C
=0，∴2y-z=0②
由①、②，可取
n
=(
3
，1，2)，又
CB
=(1，0，0)，
所以點(diǎn)B到平面D1EC的距離d=
|
CB
•
n
|
|
n
|
=
3
2
2
=
6
4
．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查用空間向量求平面間的夾角、異面直線及其所成的角、點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算、二面角的平面角及求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，滿足f（x）=-f（x+1），且當(dāng)-1＜x≤1時(shí)，f（x）=1-x2，若函數(shù)g（x）=f（x）+x-a恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成的集合為（　�。�
A、{a|a=2k+
3
4
或2k+
5
4
，k∈N}
B、{a|a=2k-
1
4
或2k+
3
4
，k∈N}
C、{a|a=2k+1或2k+
5
4
，k∈N}
D、{a|a=2k+1，k∈Z}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=
3
-i，其中i為虛數(shù)單位，則
z1
z2
的實(shí)部為（　�。�
A、
1+
3
4
i
B、
3
-1
4
C、
1-
3
4
i
D、
1-
3
4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，過A1、C、D三點(diǎn)的平面記為α，BB1與α的交點(diǎn)為Q．
（Ⅰ）證明：Q為BB1的中點(diǎn)；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；
（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線斜率為-1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex；
（3）證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，恒有x＜cex．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an=(
2
)bn（n∈N*）．若{an}為等比數(shù)列，且a1=2，b3=6+b2．
（Ⅰ）求an和bn；
（Ⅱ）設(shè)cn=
1
an
-
1
bn
（n∈N*）．記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn．
  （i）求Sn；
  （ii）求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*均有Sk≥Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知{an}是公差d＞0的等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=3，前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，其中b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．
（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令cn=
a n，a n≥b n
b n，an＜b n
，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；
（Ⅱ）用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（x∈R）的圖象的一部分如圖所示，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移α（α＞0）個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則α的最小值為（　　）
A、
π
6
B、
π
3
C、
5π
6
D、
4π
3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案