Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為-1．
（1）求a的值及函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x²＜e^x；
（3）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x₀，使得當x∈（x₀，+∞）時，恒有x＜ce^x．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義求得a，再利用導數(shù)法求得函數(shù)的極值；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^x-x²，利用導數(shù)求得函數(shù)的最小值，即可得出結(jié)論；
（3）利用（2）的結(jié)論，令x₀=

1

c

，則e^x＞x²＞

1

c

x，即x＜ce^x．即得結(jié)論成立．

解答： 解：（1）由f（x）=e^x-ax得f′（x）=e^x-a．
又f′（0）=1-a=-1，∴a=2，
∴f（x）=e^x-2x，f′（x）=e^x-2．
由f′（x）=0得x=ln2，
當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4．
f（x）無極大值．

（2）令g（x）=e^x-x²，則g′（x）=e^x-2x，
由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e^ln2-2ln2=2-ln4＞0，即g′（x）＞0，
∴當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x²＜e^x；

（3）對任意給定的正數(shù)c，總存在x₀=

1

c

＞0．當x∈（x₀，+∞）時，
由（2）得e^x＞x²＞

1

c

x，即x＜ce^x．
∴對任意給定的正數(shù)c，總存在x₀，使得當x∈（x₀，+∞）時，恒有x＜ce^x．

點評：本題主要考查基本初等函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的運算及導數(shù)的應用、全稱量詞、存在量詞等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力、抽象概括能力，考查函數(shù)與方程思想、有限與無限思想、劃歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、特殊與一般思想．屬難題．