【題目】如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，，.

（1）證明：平面平面.

（2）若平面，二面角為，三棱錐的外接球的球心為，求二面角的余弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

證明平面即可證明平面平面（2）由題確定二面角的平面角為，進(jìn)而推出為線段的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系由空間向量的線面角公式求解即可

（1）證明：因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，

所以，

又，，

所以平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）解：由（1）知平面，又，則平面，從而，

又，所以二面角的平面角為.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，.

因?yàn)槿忮F的外接球的球心為，所以為線段的中點(diǎn)，

則的坐標(biāo)為，.

設(shè)平面的法向量為，則，

即令，得.

易知平面的一個(gè)法向量為，

則.

由圖可知，二面角為銳角，

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄AP恒過定點(diǎn)，且與直線相切．

（Ⅰ）求動(dòng)圓P圓心的軌跡M的方程；

（Ⅱ）正方形ABCD中，一條邊AB在直線y＝x＋4上，另外兩點(diǎn)C、D在軌跡M上，求正方形的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進(jìn).高中聯(lián)招對(duì)初三畢業(yè)學(xué)生進(jìn)行體育測(cè)試，是激發(fā)學(xué)生、家長(zhǎng)和學(xué)校積極開展體育活動(dòng)，保證學(xué)生健康成長(zhǎng)的有效措施.程度2019年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實(shí)心球、1分鐘跳繩三項(xiàng)測(cè)試，三項(xiàng)考試滿分50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實(shí)心球15分，1分鐘跳繩20分.某學(xué)校在初三上期開始時(shí)要掌握全年級(jí)學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到下邊頻率分布直方圖，且規(guī)定計(jì)分規(guī)則如下表：

每分鐘跳繩個(gè)數(shù)

得分

17

18

19

20

（Ⅰ）現(xiàn)從樣本的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于35分的概率；；

（Ⅱ）若該校初三年級(jí)所有學(xué)生的跳繩個(gè)數(shù)服從正態(tài)分布，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計(jì)總體的期望和方差，已知樣本方差（各組數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值代替）.根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，該校初三年級(jí)學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步，假設(shè)今年正式測(cè)試時(shí)每人每分鐘跳繩個(gè)數(shù)比初三上學(xué)期開始時(shí)個(gè)數(shù)增加10個(gè)，現(xiàn)利用所得正態(tài)分布模型：

預(yù)計(jì)全年級(jí)恰有2000名學(xué)生，正式測(cè)試每分鐘跳182個(gè)以上的人數(shù)；（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）

若在全年級(jí)所有學(xué)生中任意選取3人，記正式測(cè)試時(shí)每分鐘跳195以上的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量的分布列和期望.

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】古希臘雅典學(xué)派算學(xué)家歐道克薩斯提出了“黃金分割”的理論，利用尺規(guī)作圖可畫出己知線段的黃金分割點(diǎn)，具體方法如下：（l）取線段AB＝2，過點(diǎn)B作AB的垂線，并用圓規(guī)在垂線上截取BC＝AB，連接AC；（2）以C為圓心，BC為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)D；（3）以A為圓心，以AD為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)E．則點(diǎn)E即為線段AB的黃金分割點(diǎn)．若在線段AB上隨機(jī)取一點(diǎn)F，則使得BE≤AF≤AE的概率約為（　�。▍⒖紨�(shù)據(jù)：2.236）

A. 0.236B. 0.382C. 0.472D. 0.618

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公交公司為了方便市民出行、科學(xué)規(guī)劃車輛投放，在一個(gè)人員密集流動(dòng)地段增設(shè)一個(gè)起點(diǎn)站，為研究車輛發(fā)車間隔時(shí)間（分鐘）與乘客等候人數(shù)（人）之間的關(guān)系，經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：

間隔時(shí)間（分鐘）

等候人數(shù)（人）

調(diào)查小組先從這組數(shù)據(jù)中選取組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用剩下的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)．檢驗(yàn)方法如下：先用求得的線性回歸方程計(jì)算間隔時(shí)間對(duì)應(yīng)的等候人數(shù)，再求與實(shí)際等候人數(shù)的差，若差值的絕對(duì)值不超過，則稱所求線性回歸方程是“恰當(dāng)回歸方程”．

（1）從這組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取組數(shù)據(jù)后，求剩下的組數(shù)據(jù)的間隔時(shí)間之差大于的概率；

（2）若選取的是后面組數(shù)據(jù)，求關(guān)于的線性回歸方程，并判斷此方程是否是“恰當(dāng)回歸方程”；

（3）在（2）的條件下，為了使等候的乘客不超過人，則間隔時(shí)間最多可以設(shè)置為多少分鐘？（精確到整數(shù)）

參考公式：，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正三棱柱中，AB=3，=4，M為的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，且由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到M點(diǎn)的最短路線長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線與的交點(diǎn)為N，求

（1）該三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng).

（2）PC和NC的長(zhǎng)

（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大�。ㄓ梅慈呛瘮�(shù)表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，證明不等式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分13分） 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為的曲線C上.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F，若△OEF的面積為求直線l的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線：與焦點(diǎn)為的拋物線：相切.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求，兩點(diǎn)到直線的距離之和的最小值.

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