Question

【題目】如圖，在正三棱柱中，AB=3，=4，M為的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，且由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到M點(diǎn)的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線(xiàn)與的交點(diǎn)為N，求

（1）該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng).

（2）PC和NC的長(zhǎng)

（3）平面NMP與平面ABC所成二面角（銳角）的大小（用反三角函數(shù)表示）

Answer 1

【答案】（1）（2）PC=2，NC= （3）

【解析】

（1）由展開(kāi)圖為矩形，用勾股定理求對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．
（2）在側(cè)面展開(kāi)圖中三角形MAP是直角三角形，可以求出線(xiàn)段AP的長(zhǎng)度，進(jìn)而可以求出PC的長(zhǎng)度，再由相似比可以求得CN的長(zhǎng)度．
（3）補(bǔ)形，找出兩面的交線(xiàn)，由三垂線(xiàn)定理作出二面角的平面角，二面角易求．

解：(1)正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9,寬為4的矩形

故其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為；

(2)如圖,將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)120使其與側(cè)面在同一平面上,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的位置,連接,則就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱到點(diǎn)M的最短路線(xiàn)

設(shè)，則，在中，由勾股定理得x=2,

，

，

；

(3)如圖,連接，則就是平面NMP與平面ABC的交線(xiàn),作NH⊥于H,又⊥平面ABC,連接CH,由三垂線(xiàn)定理得,CH⊥，

∴∠NHC就是平面NMP與平面ABC所成二面角的平面角(銳角)，

在中, ，

，

在中, ，

故平面NMP與平面ABC所成二面角(銳角)的大小為，