已知函數
.
（1）若
，當
時，求
的取值范圍；
（2）若定義在
上奇函數
滿足
，且當
時，
，求
在
上的反函數
；
（3）對于（2）中的，若關于的不等式
在上恒成立，求實數
的取值范圍.
（1）
；（2）
；（3）
．
解析試題分析：（1）這實質上是解不等式
，即
，但是要注意對數的真數要為正，
，
；（2）上奇函數滿足
，可很快求出
，要求在上的反函數，必須求出在上的解析式，根據的定義，在上也應該是一個分段函數，故我們必須分別求出表達式，然后分別求出其反函數的表達式；（3）根據已知可知是周期為4的周期函數，不等式在上恒成立，求參數的取值范圍問題，一般要研究函數的的單調性，利用單調性，可直接去掉函數符號
，由已知，我們可得出在
上是增函數，在
上是減函數，又
，而
可無限趨近于
，因此
時，題中不等式恒成立，就等價于
，現在我們只要求出
的范圍，而要求的范圍，只要按
的正負分類即可．
試題解析：（1）原不等式可化為 1分
所以，， 1分
得 2分
（2）因為是奇函數，所以
，得 1分
①當
時，
1分
此時
，
，所以
1分
②當
時，
，
1分
此時
，
，所以
1分
綜上，在上的反函數為 1分
（3）由題意，當
時，
，在
上是增函數，
當
，
，在
上也是增函數，
所以在
上是增函數， 2分
設
，則
由
，得
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，
（1）若曲線
與
在公共點
處有相同的切線，求實數
、
的值；
（2）當
時，若曲線與在公共點
處有相同的切線，求證：點唯一；
（3）若
，，且曲線與總存在公切線，求正實數的最小值
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題.實踐證明，聲音強度
（分貝）由公式
(
為非零常數)給出，其中
為聲音能量.
（1）當聲音強度
滿足
時，求對應的聲音能量
滿足的等量關系式；
（2）當人們低聲說話，聲音能量為
時，聲音強度為30分貝；當人們正常說話，聲音能量為
時，聲音強度為40分貝.當聲音能量大于60分貝時屬于噪音，一般人在100分貝~120分貝的空間內，一分鐘就會暫時性失聰.問聲音能量在什么范圍時，人會暫時性失聰.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
“地溝油”嚴重危害了人民群眾的身體健康，某企業(yè)在政府部門的支持下，進行技術攻關，新上了一種從“食品殘渣”中提煉出生物柴油的項目，經測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可以近似的表示為：
且每處理一噸“食品殘渣”，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將補貼.
(1)當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損；
(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
對于函數
,若存在實數對(
),使得等式
對定義域中的每一個
都成立,則稱函數是“()型函數”.
(1) 判斷函數
是否為“()型函數”，并說明理由；
(2) 若函數
是“()型函數”,求出滿足條件的一組實數對
；
(3)已知函數
是“()型函數”,對應的實數對為(1,4).當
時,
,若當
時,都有
,試求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
對定義在
上，并且同時滿足以下兩個條件的函數
稱為
函數。
①對任意的
，總有
；
②當
時，總有
成立。
已知函數
與
是定義在上的函數。
（1）試問函數
是否為
函數？并說明理由；
（2）若函數
是函數，求實數
的值；
（3）在（2）的條件下，討論方程
解的個數情況。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產
千件，需另投入成本為
，當年產量不足80千件時，
（萬元）.當年產量不小于80千件時，
（萬元）.每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完.
（Ⅰ）寫出年利潤
（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
（Ⅱ）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
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的極值點；
上的根的個數.
，點
在曲線
:
上.
，求點
的最小值.