Question

設(shè)數(shù){a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）若b_n=（2-n）（a_n-1），且對任意的正整數(shù)n，都有b_n+

1

4

t≤t²，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*)，得a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，二者作差得2a_n+1-a_n=1，由此能證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=1-

1

2n

，從而得到bn=

n-2

2n

，由b_n+1-b_n=

3-n

2n+1

，得到對任意n∈N^*，有bn≤

1

8

，從而得到

1

8

≤t2-

1

4

t，由此能求出t的取值范圍．

解答： （Ⅰ）證明：∵a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*)，①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=n+1-a_n+1，②
②-①，得2a_n+1-a_n=1，
∴an+1-1=

1

2

(an-1)，
又∵a1=

1

2

，∴a1-1=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：∵數(shù)列{a_n-1}是以-

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=-

1

2n

，∴an=1-

1

2n

，
∵b_n=（2-n）（a_n-1），∴bn=

n-2

2n

，
由b_n+1-b_n=

n+1-2

2n+1

-

n-2

2n

=

n-1-2(n-2)

2n+1

=

3-n

2n+1

＞0，得n＜3，
由b_n+1-b_n=

3-n

2n+1

＜0，得n＞3，
∴b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n＞…，
∴b_n有最大值b₃=b₄=

1

8

，
∴對任意n∈N^*，有bn≤

1

8

，
∴  bn+

1

4

t≤t2即bn≤t2-

1

4

t，則（b_n）_max≤t2-

1

4

t，
∴

1

8

≤t2-

1

4

t，解得t≥

1

2

或t≤-

1

4

，
∴t的取值范圍是（-∞，-

1

4

]∪[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．