Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-bx．
（Ⅰ） 若曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線平行于x軸，求實數(shù)b的值；
（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），f（x）≥0成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）求證：

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

＞n-ln(n+1)(n∈N*)．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導函數(shù)在x=0處的值等于零，可以求出b的值．
（Ⅱ）在x＞0時，函數(shù)的最小值大于等于0，求出b的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，取b的一個特殊值為e時，再利用（Ⅱ）的結(jié)論，利用累加法即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ） f（x）=e^x-bx，f'（x）=e^x-b，
∵曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線平行于x軸，∴f′（0）=0，即1-b=0，∴b=1．
（Ⅱ）依題意得，不等式e^x-bx≥0即b≤

ex

x

在（0，+∞）恒成立，
設(shè)g(x)=

ex

x

（x＞0），則g′(x)=

ex(x-1)

x2

，
當x∈（0，1）時，g'（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴x∈（0，+∞），g（x）_min=g（1）=e，∴b≤e．
∴實數(shù)b的取值范圍為（-∞，e]．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當b=e時，?x∈（0，+∞），f（x）=e^x-ex≥0
（當且僅當x=1時等號成立）∴x∈（0，+∞），e^x≥ex，∴l(xiāng)ne^x≥lnex，即x≥1+lnx，（當且僅當x=1時等號成立），
設(shè)x=

n

n+1

，（n∈N*），則

n

n+1

＞1+ln

n

n+1

，
∴

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

＞(1+ln

1

2

)+(1+ln

2

3

)+…+(1+ln

n

n+1

)，
又(1+ln

1

2

)+(1+ln

2

3

)+…+(1+ln

n

n+1

)=n+ln(

1

2

•

2

3

•…•

n

n+1

)=n+ln

1

n+1

=n-ln（n+1）
∴

1

2

+

2

3

+…+

n

n+1

＞n-ln(n+1)．

點評：本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等基本知識；考查運算求解能力、推理論證能力；考查化歸轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程的思想、分類整合思想，累加法求和．屬于難題．