Question

拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線E交于B，C兩點(diǎn)，已知A（-1，0），△ABC為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）直線l過點(diǎn)A且與拋物線E交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)N₁與點(diǎn)N交于x軸對稱，證明：直線MN₁過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用△ABC為等腰直角三角形，可得A為直角頂點(diǎn)，從而可求拋物線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my-1，代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出直線MN₁的方程，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：由題意，B（

p

2

，p），C（

p

2

，-p），
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴A為直角頂點(diǎn)，
∴|AF|=|BF|，
∴1+

p

2

=p，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：由已知得直線l的斜率不為0，可設(shè)直線l的方程為x=my-1，
代入拋物線方程，可得y²-4my+4=0，
∴△=16m²-16＞0，∴m²＞1，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y₁y₂=4，
∵N₁（x₂，-y₂），∴直線MN₁的方程為y-y₁=

y1-(-y2)

x1-x2

（x-x₁），
∵x₁=

y12

4

，x₂=

y22

4

，
∴代入直線MN₁的方程整理可得y=

4

y1-y2

x-

y1y2

y1-y2

，
∴y=

4

y1-y2

（x-1），
∴直線MN₁過定點(diǎn)（1，0）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線恒過定點(diǎn)，屬于中檔題．