Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）滿足以下條件：
①在x=1時(shí)有極值；
②曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與直線x-3y+2=0垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)直線l₁：y=kx與函數(shù)f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，C，且|AB|=|BC|=5，求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=6lnx-m，若存在x∈[

1

e

，e]，使g（x）＜f（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，由f（0）=0，f（-1）=-f（1）求得b，d的值，再由x=1時(shí)f（x）有極值得f′（1）=0，f（x）在x=0處的切線與直線x-3y+2=0垂直得f′（0）=-3，聯(lián)立方程組求得a，c的值，則函數(shù)f（x）的解析式可求；
（Ⅱ）奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，由|AB|=|BC|知B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，聯(lián)立y=kx與f（x）=0
求得A點(diǎn)坐標(biāo)，由|AB|=5列式求得k值；
（Ⅲ）把f（x），g（x）的解析式式代入g（x）＜f（x），進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為m＞6lnx-3x²+3，引入輔助函數(shù)
h(x)=6lnx-3x2+3，x∈[

1

e

，e]，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，則m大于其最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=d=0．
即f（x）=ax³+bx²+cx，
由f（-1）=-f（1），得：
-a+b-c=-a-b-c，得b=0，
∴f（x）=ax³+cx，
則f′（x）=3ax²+c．
∵f（x）在x=1時(shí)有極值，
∴f′（1）=3a+c=0  ①
又f（x）在x=0處的切線與直線x-3y+2=0垂直，
∴f′（0）=c=-3．
把a(bǔ)=-3代入①得a=1，
即f（x）=x³-3x；
（Ⅱ）原點(diǎn)（O，O）是三次曲線f（x）的對(duì)稱中心，
由題設(shè)|AB|=|BC|=5可知，點(diǎn)B就是（O，O），
將y=kx與y=x³-3x聯(lián)立得x（x²-3-k）=0，
解得x=0和x=±

k+3

．
不妨設(shè)A（

k+3

，k

k+3

），
由|AB|=5可得（k+3）（1+k²）=25，
解得k=2；
（Ⅲ）若存在x∈[

1

e

，e]，使6lnx-m＜3x²-3，
即存在x∈[

1

e

，e]，使m＞6lnx-3x²+3，
設(shè)h(x)=6lnx-3x2+3，x∈[

1

e

，e]，
則h′(x)=

6

x

-6x=

6-6x2

x

．
令h′（x）=0，
∵x∈[

1

e

，e]，
∴x=1．
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，h′（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]上為減函數(shù)；
當(dāng)x∈[

1

e

，1]時(shí)，h′（x）≥0，
∴h（x）在[

1

e

，1]上為增函數(shù)．
又h(

1

e

)=-3-

3

e2

，h（e）=9-3e²，h(

1

e

)＞h(e)，
∴h（x）最小值為9-3e²．
∴實(shí)數(shù)m的范圍是m＞9-3e²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，正確理解題意并進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化是解答（Ⅲ）的關(guān)鍵，是壓軸題．