Question

已知數(shù)列{a_n}，滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列
（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足4 b1-1•42b2-1•4 3b3-1…4 nbn-1=（a_n+1）ⁿ，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，進(jìn)行化簡即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n+1，
∴1+a_n+1=2a_n+2=2（a_n+1），
故數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列，公比q=2，首項(xiàng)為2．
且a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ．
（Ⅱ）∵4 b1-1•42b2-1•4 3b3-1…4 nbn-1=（a_n+1）ⁿ，
∴4b1+2b2+…+nbn-n=(2n)n=2n2，
即2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）-2n=n²，
∴2（b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n）=n²+2n，①
當(dāng)n≥2時，2（b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1）=（n-1）²+2（n-1）=n²-1，②
兩式相減得2nb_n=2n+1，（n≥2），
即b_n=1+

1

2n

，（n≥2），
當(dāng)n=1時，也滿足條件，故b_n=1+

1

2n

，（n≥1）．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的證明和判斷，利用遞推數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．