【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ) 當(dāng)a=-1時(shí),求證: ;
(Ⅱ) 對任意,存在,使成立,求a的取值范圍.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…)
【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)
【解析】試題分析:
(1)利用題意證得函數(shù)的最大值為 即可證得結(jié)論;
(2)首先利用分析法真理要證明的不等式,然后構(gòu)造函數(shù)證明結(jié)論即可.
試題解析:
(Ⅰ)當(dāng) a=-1時(shí), (x>-1),
則,令,得.
當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,也為最大值,所以,
所以, ,得證.
(Ⅱ)不等式,
即為.
而
.
令.故對任意,存在,使恒成立,
所以.
設(shè),則,
設(shè),知對于恒成立,
則為上的增函數(shù),于是,
即對于恒成立,所以為上的增函數(shù).
所以
設(shè),即,
當(dāng)a≥0時(shí), 為上的減函數(shù),且其值域?yàn)镽,可知符合題意.
當(dāng)a<0時(shí), ,由可得,
由得,則p(x)在上為增函數(shù);由得,則p(x)在上為減函數(shù),所以.
從而由,解得.
綜上所述,a的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)= ,g(x)=( )2
B.f(x)=(x﹣1)0 , g(x)=1
C.f(x) ,g(x)=x+1
D.f(x)= ,g(t)=|t|
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在圓柱中,A,B,C,D是底面圓的四等分點(diǎn),O是圓心,A1A,B1B,C1C與底面ABCD垂直,底面圓的直徑等于圓柱的高.
(Ⅰ)證明:BC⊥AB1;
(Ⅱ)(。┣蠖娼A1 - BB1 - D的大小;
(ⅱ)求異面直線AB1和BD所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2: .
(Ⅰ)求曲線C1和C2的直角坐標(biāo)方程,并分別指出其曲線類型;
(Ⅱ)試判斷:曲線C1和C2是否有公共點(diǎn)?如果有,說明公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);如果沒有,請說明理由;
(Ⅲ)設(shè)是曲線C1上任意一點(diǎn),請直接寫出a + 2b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點(diǎn)、商業(yè)區(qū)、公共服務(wù)區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務(wù),由于其依托“互聯(lián)網(wǎng)+”,符合“低碳出行”的理念,已越來越多地引起了人們的關(guān)注.某部門為了對該城市共享單車加強(qiáng)監(jiān)管,隨機(jī)選取了100人就該城市共享單車的推行情況進(jìn)行問卷調(diào)查,并將問卷中的這100人根據(jù)其滿意度評分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100] 分成5組,制成如圖所示頻率分直方圖.
(Ⅰ) 求圖中的值;
(Ⅱ) 已知滿意度評分值在[90,100]內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2:1,若在滿意度評分值為[90,100]的人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談,求所抽取的兩人中至少有一名女生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(Ⅰ)寫出橢圓C的普通方程和直線l的傾斜角;
(Ⅱ)若點(diǎn)P(1,2),設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查“五一”小長假出游選擇“有水的地方”是否與性別有關(guān),現(xiàn)從該市“五一”出游旅客中隨機(jī)抽取500人進(jìn)行調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:(單位:人)
選擇“有水的地方” | 不選擇“有水的地方” | 合計(jì) | |
男 | 90 | 110 | 200 |
女 | 210 | 90 | 300 |
合計(jì) | 300 | 200 | 500 |
(Ⅰ)據(jù)此樣本,有多大的把握認(rèn)為選擇“有水的地方”與性別有關(guān);
(Ⅱ)若以樣本中各事件的頻率作為概率估計(jì)全市“五一”所有出游旅客情況,現(xiàn)從該市的全體出游旅客(人數(shù)眾多)中隨機(jī)抽取3人,設(shè)3人中選擇“有水的地方”的人數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差.
附臨界值表及參考公式:
P(K2≥k0) | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社區(qū)為豐富居民節(jié)日活動,組織了“迎新春”象棋大賽,已知報(bào)名的選手情況統(tǒng)計(jì)如下表:
組別 | 男 | 女 | 總計(jì) |
中年組 | 91 | ||
老年組 | 16 |
已知中年組女性選手人數(shù)是僅比老年組女性選手人數(shù)多2人.若對中年組和老年組分別利用分層抽樣的方法抽取部分報(bào)名者參加比賽,已知老年組抽取了5人,其中女性3人,中年組抽取了7人.
(Ⅰ)求表格中的數(shù)據(jù);
(Ⅱ)若從選出的中年組的選手中隨機(jī)抽取兩名進(jìn)行比賽,求至少有一名女性選手的概率.
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