求證：（1+1）（1+
1
3
）（1+
1
5
）…（1+
1
2n-1
）＞
2n+1
．
考點：數(shù)學(xué)歸納法
專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法
分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，驗證n=2時不等式成立，然后假設(shè)n=k時不等式成立，證明n=k+1時不等式也成立即可．
解答： 證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1+1=2＞
3
=右邊顯然成立．（2分）
（2）假設(shè)n=k（k≥1且k∈N）時，：（1+1）（1+
1
3
）（1+
1
5
）…（1+
1
2k-1
）＞
2k+1
成立 （4分）
則當(dāng)n=k+1時，（1+1）（1+
1
3
）（1+
1
5
）…（1+
1
2k-1
）（1+
1
2k+1
）＞
2k+1
（1+
1
2k+1
）=
2k+1
+1． （5分）
又因為2
2k+1
＞1，
∴(
2k+1
+1)2=2k+2+2
2k+1
＞2k+3，
即（1+1）（1+
1
3
）（1+
1
5
）…（1+
1
2k-1
）（1+
1
2k+1
）＞
2(k+1)+1
，
當(dāng)n=k+1時，不等式也成立．（11分）
由（1）（2）可知對于大于1的任意自然數(shù)n，都有（1+1）（1+
1
3
）（1+
1
5
）…（1+
1
2n-1
）＞
2n+1
 （12分）
點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的證明步驟，注意n=k+1時必須用上假設(shè)，考查邏輯推理能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=
3
，點F是PD中點，點E是DC邊上的任意一點．
（Ⅰ）當(dāng)點E為DC邊的中點時，判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅱ）證明：無論點E在DC邊的何處，都有AF⊥FE；
（Ⅲ）求三棱錐B-AFE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，M為正方形AA1D1D的中心，N為棱AB的中點．
（Ⅰ）求證：MN∥平面BB1D1D；
（Ⅱ）求四棱錐N-BB1D1D的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且縱坐標(biāo)為4，|PF|=4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)直線l與拋物線交于A，B兩點，且∠APB的角平分線與x軸垂直，求△PAB面積最大時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，三棱柱ABC-A1B1 C1中，側(cè)棱AA1⊥平面ABC，AB=BC=AA1=2，AC=2
2
，E，F(xiàn)分別是A1B，BC的中點．
（Ⅰ）證明：EF∥平面A AlClC；
（Ⅱ）證明：平面A1ABB1⊥平面BEC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需要另投入1萬元，設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件，并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=
108
x
-
100
x(x+1)
，（x＞0）
（1）寫出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千件）的函數(shù)解析式；
（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，短軸的兩個端點分別為B1、B2，焦點為F1、F2，四邊形F1B1F2B2的內(nèi)切圓半徑為
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦F1點的直線交橢圓于M、N兩點，交直線x=-4于點P，設(shè)
PM
=λ
MF1
，
PN
=μ
NF2
，試證λ+μ為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，且FD=
1
2
EA=1．
（Ⅰ）求多面體EABCDF的體積；
（Ⅱ）求證：平面EAB⊥平面EBC；
（Ⅲ）記線段CB的中點為K，在平面ABCD內(nèi)過K點作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知tan
α
2
=
1
3
，則cosα=
 
．

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同步練習(xí)冊答案