Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為為

2

2

．點P在橢圓E上，且△PF₁F₂的周長為4

2

+4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=x+m與橢圓E交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

c a = 2 2 2a+2c=4 2 +4

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，得3x²+4mx+2m²-8=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-8

3

，|AB|=

2[(- 4m 3 )2-4× 2m2-8 3 ]

=

4

3

•

12-m2

，原點O到直線y=x+m的距離d=

|m|

2

，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)能求出△AOB面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
離心率為為

2

2

．點P在橢圓E上，且△PF₁F₂的周長為4

2

+4．
∴

c a = 2 2 2a+2c=4 2 +4

，解得a=2

2

，c=2，
∴b²=8-4=4，
∴橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）聯(lián)立

y=x+m x2 8 + y2 4 =1

，得3x²+4mx+2m²-8=0，
△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x1+x2=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-8

3

，
|AB|=|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2[(- 4m 3 )2-4× 2m2-8 3 ]

=

4

3

•

12-m2

，
原點O到直線y=x+m的距離d=

|m|

2

，
∴S_△AOB=

1

2

•d•|AB|=

1

2

•

|m|

2

•

4

3

12-m2

=

2

3

12m2-m4

，
∴m²=6時，S_△AOB取最大值

2

3

12×6-62

=2

2

．
∴△AOB面積的最大值為2

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式和二次函數(shù)性質(zhì)的靈活運用．