Question

【題目】定義在上的函數(shù)滿足，．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)如果，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為．； （2）見解析.

【解析】

（1）對求導得，可得，再在f（x）中令x＝0得f（0），從而得f（x）＝e2x+x2﹣2x，可得，通過研究其導函數(shù)得到的單調(diào)區(qū)間；

（2）先由（1）得單調(diào)遞增且不妨設(shè)，分析，得x1、x2滿足，要證，即證，由單調(diào)遞增，故只需證明，構(gòu)造函數(shù)再結(jié)合單調(diào)性即可證明結(jié)論．

(1) 由，得

令，得，故．

又，則，故，

于是

；

當時，，遞減；當時，，遞增；

故，故在上單調(diào)遞增，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．

(2) 注意到，由得

由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則，下面用分析法，

要證，即證，由單調(diào)遞增，故只需證明，

而，故只需證，即證

設(shè)，

則，

令

則，∴單增，

又∴, 即，

∴在上單調(diào)遞增，故．