Question

【題目】在如圖所示的五面體ABCDEF中，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠ADC＝∠BCD＝120°，四邊形EDCF是正方形，二面角E﹣DC﹣A的大小為90°．

（1）求證：直線AD⊥平面BDE

（2）求點D到平面ABE的距離．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 (2)．

【解析】

（1）先證明ED⊥AD，再由余弦定理得BD，根據(jù)勾股定理證明AD⊥BD得到證明.

（2）利用等體積法VE﹣ABD＝VD﹣ABE，得到計算得到答案.

（1）證明：因為四邊形EDCF為正方形，所以ED⊥CD

因為二面角E﹣DC﹣A的大小為90°，所以平面EDCF⊥平面ABCD，

由面面垂直的性質(zhì)定理得ED⊥平面ABCD，又AD平面ABCD，

所以ED⊥AD，又因為∠ADC＝120°，AB∥CD，

所以∠DAB＝60°，又AB＝2AD＝2，

所以由余弦定理得BD，所以AD2+BD2＝AB2，即AD⊥BD，

又DE∩DB＝D，DE，DB平面BDE，所以AD⊥平面BDE；

（2）設(shè)點D到平面ABE的距離為h，則VE﹣ABD＝VD﹣ABE，

所以所以h，

所以點D到平面ABE的距離為．