Question

如圖，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB=2，AD=AF=1，∠BAF=60°，O，P分別為AB，CB的中點(diǎn)，M為底面△OBF的重心．
（Ⅰ）求證：PM∥平面AFC；
（Ⅱ）求直線AC與平面CBF所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）連結(jié)OM延長交BF于H，則H為BF的中點(diǎn)，又P為CB的中點(diǎn)，推斷出PH∥CF，又利用線面判定定理推斷出PH∥平面AFC，連結(jié)PO，同理推斷出PO∥平面AFC，利用面面平行的判定定理，推斷出平面POO₁∥平面AFC，最后利用面面平行的性質(zhì)推斷出PM∥平面AFC．
（Ⅱ）Q矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB，所以可推斷出CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC₁，所以CB⊥AF，進(jìn)而由余弦定理求得BF，推斷出AF²+BF²=AB²得AF⊥BF同時利用AF∩CB=B判斷出AF⊥平面CFB，可知∠ACF為直線AC與平面CBF所成的角在直角三角形ACF中求得sin∠ACF即可．

解答： 解（Ⅰ）連結(jié)OM延長交BF于H，則H為BF的中點(diǎn)，又P為CB的中點(diǎn)，
∴PH∥CF，又∵AF?平面AFC，
∴PH∥平面AFC
連結(jié)PO，則PO∥AC，AC?平面AFC，PO∥平面AFC
PO∩PO₁=P，
∴平面POO₁∥平面AFC，
PM?平面AFC，
∴PM∥平面AFC
（Ⅱ）Q矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，CB⊥AB
所以CB⊥平面ABEF，又AF?平面BDC₁，所以CB⊥AF
又AB=2，AF=1，∠BAF=60°，
由余弦定理知BF=

3

，AF²+BF²=AB²得AF⊥BF
AF∩CB=B∴AF⊥平面CFB
所以∠ACF為直線AC與平面CBF所成的角
在直角三角形ACF中sin∠ACF=

AF

AC

=

1

5

=

5

5

點(diǎn)評：本題主要考查了線面平行的判定，面面平行的判定，以及線面垂直的性質(zhì)．