Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₂=6，a₅=18，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+

1

2

b_n=1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=a_n•b_n，若c_n+m≤0對(duì)任意的n∈N₊恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)a_n的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式根據(jù)a₂=6，a₅=18可求得a₁和d，進(jìn)而可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）先證明數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得{c_n}的通項(xiàng)公式，求出n=1時(shí)，c_n取到最大值

4

3

，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)a_n的公差為d，則：a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d，
∵a₂=6，a₅=18，
∴a₁+d=6，a₁+4d=18，∴a₁=2，d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁，由S₁+

1

2

b₁=1，可得b₁=

2

3

當(dāng)n≥2時(shí)，∵S_n+

1

2

b_n=1，S_n-1+

1

2

b_n-1=1，
∴兩式相減，整理可得b_n=

1

3

b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是以

2

3

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=

2

3n

，
∴c_n=a_n•b_n=

4(2n-1)

3n

，
∴c_n+1-c_n=

16(1-n)

3n+1

，
∴n≥1，
∴c_n+1≤c_n，
∴n=1時(shí)，c_n取到最大值

4

3

，
∵c_n+m≤0對(duì)任意的n∈N₊恒成立，
∴

4

3

+m≤0，
∴m≤-

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查恒成立問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．