Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ） 若b_n=log₂（

256

a2n-1

）n∈N^*，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n的和為S_n，當(dāng)n為何值時(shí)，S_n有最大值，并求最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）得a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），利用累加法及等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)論；
（Ⅱ）由b_n=log₂（

256

a2n-1

）n∈N^*得bn=log2(

256

a2n-1

)=log2

28

22n

=log228-2n=8-2n（n∈N^*），判斷b_n的符號(hào)即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（3分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2^n-1+2^n-2+…+2²+5…（5分）
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2=2ⁿ+1（n≥3），…（7分）
檢驗(yàn)知n=1，2時(shí)，結(jié)論也成立，故a_n=2ⁿ+1．…（8分）
（Ⅱ） 由bn=log2(

256

a2n-1

)=log2

28

22n

=log228-2n=8-2n（n∈N^*）…（10分）
當(dāng)1≤n≤3時(shí)，b_n=8-2n＞0；當(dāng)n=4時(shí)，b_n=8-2n=0；當(dāng)n≥5時(shí)，b_n=8-2n＜0…（12分）
故n=3或n=4時(shí)，S_n達(dá)最大值，S₃=S₄=12．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法等知識(shí)，屬中檔題．