Question

【題目】已知函數(shù)，圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離是，其中一個最高點(diǎn)為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）若對于任意的恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）遞增區(qū)間和；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，結(jié)合題意求出該函數(shù)的最小正周期，可求出的值，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，結(jié)合的取值范圍可求出的值，從而可得出函數(shù)的解析式；

（2）求出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，再與區(qū)間取交集可得出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）由題意得出，求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）由于函數(shù)的圖象的一個最高點(diǎn)坐標(biāo)為，則，得.

設(shè)該函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，得，

此時，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式得，，

，，則，，解得.

因此，；

（2）令，解得，

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

，

因此，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和；

（3）恒成立，等價于恒成立，

，則，

當(dāng)，即時，該函數(shù)取得最小值，即，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.