Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中， 平面，底面是菱形， ， ， ． 為與的交點， 為棱上一點,

（1）證明：平面⊥平面；

（2）若三棱錐的體積為，

求證： ∥平面．

Answer 1

【答案】(1)見解析 (2) 見解析

【解析】試題分析：（1）要證明平面⊥平面，由面面垂直的判定定理知需在平面平面內(nèi)找到一條直線垂直于另一個平面,通過分析后易知AC⊥平面PBD，再由線面垂直的判定定理即可證明.（2）由VP﹣EAD，需作出三棱錐的高，為此通過觀察分析后，我們?nèi)?/span>AD中點H，連結(jié)BH，PH，在△PBH中，經(jīng)點E作EF∥BH，交PH于點F,易證BH⊥平面PAD，再由EF∥BH，可得EF⊥平面PAD，故EF為三棱錐的高，

再由VP﹣EAD，可求出EF的值，又由∠BAD=60°，BH⊥AD，可求出BH的值，至此易知，即E為PB中點，而O為BD中點，所以O(shè)E為△PBD的中位線，由三角形中位線性質(zhì)可得OE∥PD，再由線面平行判定定理PD∥平面EAC．

試題解析：

證明：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，

∴AC⊥平面PBD，

又∵AC平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB．

（2）取AD中點H，連結(jié)BH，PH，在△PBH中，經(jīng)點E作EF∥BH，交PH于點F，

∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，

∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，

∴BH⊥平面PAD，EF⊥平面PAD，

可得：BH=AB=，

∴VP﹣EAD=VE﹣PAD=SPAD×EF=

，

∴EF=，

∴，可得E為PB中點，

又∵O為BD中點，

∴OE∥PD，

∵PD平面EAC，OE平面EAC，

∴PD∥平面EAC．