已知點P在曲線y=x2-1上，它的橫坐標為a（a＞0），過點P作曲線y=x2的切線．
（1）求切線的方程；
（2）求證：由上述切線與y=x2所圍成圖形的面積S與a無關．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,定積分在求面積中的應用
專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用
分析：（1）確定P的坐標，設切點Q的坐標，利用導數(shù)的幾何意義，可得切線的方程；
（2）利用定積分表示面積，即可得出結論．
解答： （1）解：點P的坐標為（a，a2-1），
設切點Q的坐標為（x，x2），
由kPQ=
a2-1-x2
a-x
及y′=2x知
a2-1-x2
a-x
=2x，
解得x=a+1或x=a-1．
所以所求的切線方程為2（a+1）x-y-（a+1）2=0或2（a-1）x-y-（a-1）2=0…（6分）
（2）證明：S=
∫
a
a-1
[x2-2（a-1）x+（a-1）2]dx+
∫
a+1
a
[x2-2（a+1）x+（a+1）2]dx=
2
3
．
故所圍成的圖形面積S=
2
3
，此為與a無關的一個常數(shù)…（12分）
點評：本題考查定積分在求面積中的應用、利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某種飲料每箱裝5聽，其中有3聽合格，2聽不合格，現(xiàn)質檢人員從中隨機抽取2聽進行檢測，則檢測出至少有一聽不合格飲料的概率是（　�。�
A、
3
10
B、
7
10
C、
2
5
D、
3
5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（1，0）及圓B：（x+1）2+y2=16，C為圓B上任意一點，求AC垂直平分線與線段BC的交點P的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=
1
tan2x
+5-
2
tanx
的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=lnx+
1
2
ax2-2bx．
（Ⅰ）當a=-3，b=1時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)-
1
2
ax2+2bx+
a
x
（
1
2
≤x≤3），其圖象上存在一點P（x0，y0），使此處切線的斜率k≤
1
2
，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=0，b=-
1
2
，m＞1時，方程f（x）=mx有唯一實數(shù)解，求m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

集合A是由適合以下性質的函數(shù)f（x）構成的：對于任意的m，n∈[-1，1]，且m≠n，都有|f（m）-f（n）|≤3|m-n|．
（1）判斷函數(shù)f1（x）=x2是否在集合A中？并說明理由；
（2）設函數(shù)f（x）=ax2+bx，若對于任意的m，n∈[-1，1]，有|a（m+n）+b|≤3恒成立，試求2a+b的取值范圍，并推理判斷f（x）是否在集合A中？
（3）在（2）的條件下，若f（-2）=6，且對于滿足（2）的每個實數(shù)a，存在最大的實數(shù)t，使得當x∈[-2，t]時，|f（x）|≤6恒成立，試求用a表示t的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊AB，DA上的點．
（Ⅰ）若CP=CQ，且△CPQ的面積為
1
3
，求∠BCP的大小；
（Ⅱ）若△APQ的周長為2，求∠PCQ的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我市某校高三年級有男生720人，女生480人，教師80人，用分層抽樣的方法從中抽取16人，進行新課程改革的問卷調查．設其中某項問題的選擇分為“同意”與“不同意”兩種，且每人都做了一種選擇．下面表格中提供了被調查人答卷情況的部分信息．
同意 不同意 合計
男生 x 5
女生 y 3
教師 1 z
（Ⅰ）求x、y、z的值
（Ⅱ）若面向高三年級全體學生進行該問卷調查，試根據(jù)上述信息，估計高三年級學生選擇“同意”的人數(shù)；
（Ⅲ）從被調查的女生中選取3人進行交談，設選到的3名女生中，選擇“同意”的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與數(shù)學期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=e2x2+1導數(shù)是
 
．

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