Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，P，Q分別為邊AB，DA上的點(diǎn)．
（Ⅰ）若CP=CQ，且△CPQ的面積為

1

3

，求∠BCP的大��；
（Ⅱ）若△APQ的周長為2，求∠PCQ的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)題意設(shè)出BCP=∠DCQ=α，進(jìn)而表示出CP，CQ，利用三角形面積求得cos2α的值，進(jìn)而求得α即∠BCP．
（Ⅱ）用α，β表示出PB，DQ，利用三角形周長求得tanα和tanβ的關(guān)系式，進(jìn)而利用正切的兩角和公式求得α+β的值，即∠PCQ．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)∠BCP=∠DCQ=α，
則CP=CQ=

1

cosα

，∠PCQ=90°-2α，
∴S_△CPQ=

1

2

•

1

cos2α

•sin（90°-2α）=

cos2α

2cos2α

=

cos2α

1-cos2α

=

1

3

，
∴cos2α=

1

2

，
∵0＜α＜45°，
∴α=30°，即∠BCP=

1

2

．
（Ⅱ）PB=tanα，DQ=tanβ，
∵△APQ的周長為2，
∴1-tanα+1-tanβ+

(1-tanα)2+(1-tanβ)2

=2，
整理得tanα+tanβ=1-tanαtanβ，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=1，
∵0＜α+β＜90°，
∴α+β=45°，
∴∠PCQ=45°．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正切的兩角和公式，二倍角公式的綜合運(yùn)用．考查基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．