Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+

1

2

ax2-2bx．
（Ⅰ）當(dāng)a=-3，b=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F(x)=f(x)-

1

2

ax2+2bx+

a

x

（

1

2

≤x≤3），其圖象上存在一點(diǎn)P（x₀，y₀），使此處切線的斜率k≤

1

2

，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=0，b=-

1

2

，m＞1時(shí)，方程f（x）=mx有唯一實(shí)數(shù)解，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值即可；
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的意義，求出曲線的切線斜率，列出不等式求得a的取值范圍；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx+x（1-m），利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)max=g(

1

m-1

)．由方程f（x）=mx有唯一實(shí)數(shù)解，
即g（x）=0有唯一實(shí)數(shù)解，則必有g(

1

m-1

)=ln

1

m-1

+

1-m

m-1

=0⇒

1

m-1

=e⇒m=1+

1

e

．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=-3，b=1時(shí)，f(x)=lnx-

3

2

x2-2x，f′(x)=

1

x

-3x-2=

1-3x2-2x

x

…（2分）
由 f'（x）＞0，得3x²+2x-1＜0，解得-1＜x＜

1

3

；由 f'（x）＜0，得3x²+2x-1＞0，解得x＞

1

3

或x＜-1．
∵x＞0，∴f（x）在(0，

1

3

)單調(diào)遞增，在(

1

3

，+∞)單調(diào)遞減；
所以f（x）的極大值為f(

1

3

)=-ln3-

5

6

，此即為最大值…（4分）
（Ⅱ）F(x)=lnx+

a

x

，x∈[

1

2

，3]，則有k=F′(x0)=

x0-a

x02

≤

1

2

，在x0∈[

1

2

，3]上有解，
∴a≥(-

1

2

x

2 0

+x0)min，x0∈[

1

2

，3]…（6分）
∵-

1

2

x02+x0=-

1

2

(x0-1)2+

1

2

，
所以 當(dāng)x₀=3時(shí)，-

1

2

x

2 0

+x0取得最小值-

9

2

+3=-

3

2

，∴a≥-

3

2

…（8分）
（Ⅲ）因?yàn)榉匠蘤（x）=mx有唯一實(shí)數(shù)解，所以lnx+x-mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，…（9分）
設(shè)g（x）=lnx+x（1-m），則g′(x)=

1+(1-m)x

x

．
∵x＞0，m＞1，所以由g′（x）＞0得x＜

1

m-1

，
由g′（x）＜0得x＞

1

m-1

，所以g（x）在(0，

1

m-1

)上單調(diào)遞增，g（x）在(

1

m-1

，+∞)上單調(diào)遞減，g(x)max=g(

1

m-1

)．…（11分）
若lnx+x-mx=0有唯一實(shí)數(shù)解，則必有g(

1

m-1

)=ln

1

m-1

+

1-m

m-1

=0⇒

1

m-1

=e⇒m=1+

1

e

所以當(dāng)m=1+

1

e

時(shí)，方程f（x）=mx有唯一實(shí)數(shù)解．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、求切線斜率等知識(shí)，考查對(duì)函數(shù)構(gòu)造法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力，屬難題．