Question

已知cos（α-

β

2

）=-

1

3

，sin（

α

2

-β）=

1

4

，且

3π

2

＜α＜2π，

π

2

＜β＜π，求cos

α+β

2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由條件求得π＜α-

β

2

＜

3π

2

，0＜

α

2

-β＜

π

2

．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β）的值，再根據(jù)cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]，利用兩角差的余弦公式計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：∵

3π

2

＜α＜2π，

π

2

＜β＜π，∴π＜α-

β

2

＜

7π

4

，-

π

4

＜

α

2

-β＜

π

2

．
∵cos（α-

β

2

）=-

1

3

，sin（

α

2

-β）=

1

4

，∴π＜α-

β

2

＜

3π

2

，0＜

α

2

-β＜

π

2

．
∴sin（α-

β

2

）=-

1-cos2(α- β 2 )

=-

2 2

3

，cos（

α

2

-β）=

1-sin2( α 2 -β)

=

15

4

．
∴cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=cos（α-

β

2

）•cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）•sin（

α

2

-β）
=-

1

3

×

15

4

+（-

2 2

3

）×

1

4

=-

15 +2 2

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的三角公式，注意角的范圍以及三角函數(shù)值的符號(hào)，屬于中檔題．