Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，a₁=1，數(shù)列{b_n}對(duì)于任意的n∈N^*都有2ⁿS_n=n²b_n成立，且b₃=a₂+a₃．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，對(duì)于任意的n∈N^*都有k（T_n+2）≥S_2n恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出數(shù)列的公差，即可求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造數(shù)列，求出數(shù)列的最值即可求出k的取值服務(wù)．

解答： 解：（1）對(duì)于任意的n∈N^*都有2ⁿS_n=n²b_n成立，當(dāng)n=3時(shí)，8（3a₁+3d）=9b₃，
∵b₃=a₂+a₃=2a₁+3d=2+3d，
∴解得d=2，
當(dāng)d=2時(shí)，a_n=2n-1，S_n=n²，
故b_n=2ⁿ．
（2）∵S_n=n²，
∴T_n=2ⁿ⁺¹-2，
k（T_n+2）≥S_2n恒成立等價(jià)為k•2ⁿ⁺¹≥4n²，
即k≥

4n2

2n+1

恒成立，
設(shè)c_n=

4n2

2n+1

，則c_n+1-c_n=

4(n+1)2

2n+2

-

4n2

2n+1

=

-n2+2n+1

2n

≥0，
解得n≤1+

2

，
則c_n≤c₃=

9

4

，
即k≥

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，以及數(shù)列求和的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．