Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x²-8x+1．記f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）當(dāng)x∈M∩N時(shí)，證明：x²f（x）+x[f（x）]²≤

1

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法,交集及其運(yùn)算

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由所給的不等式可得

x≥1 3x-3≤1

①，或

x＜1 1-x≤1

②，分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，

3

4

]．當(dāng)x∈M∩N時(shí)，f（x）=1-x，不等式的左邊化為

1

4

-(x-

1

2

)2，顯然它小于或等于

1

4

，要證的不等式得證．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1 可得

x≥1 3x-3≤1

 ①，或

x＜1 1-x≤1

 ②．
解①求得1≤x≤

4

3

，解②求得 0≤x＜1．
綜上，原不等式的解集為[0，

4

3

]．

（Ⅱ）證明：
由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-

1

4

≤x≤

3

4

，
∴N=[-

1

4

，

3

4

]，
∴M∩N=[0，

3

4

]．
∵當(dāng)x∈M∩N時(shí)，f（x）=1-x，
∴x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]=

1

4

-(x-

1

2

)2≤

1

4

，
故要證的不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．