Question

設函數(shù)f（x）=ae^xlnx+

bex-1

x

，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處得切線方程為y=e（x-1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）證明：f（x）＞1．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出定義域，導數(shù)f′（x），根據(jù)題意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等價于xlnx＞xe^-x-

2

x

，設函數(shù)g（x）=xlnx，函數(shù)h（x）=xe-x-

2

x

，只需證明g（x）_min＞h（x）_max，利用導數(shù)可分別求得g（x）_min，h（x）_max；

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=aexlnx+

a

x

•ex-

b

x2

•ex-1+

b

x

•ex-1，
由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，
故a=1，b=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e^xlnx+

2

x

•ex-1，
從而f（x）＞1等價于xlnx＞xe^-x-

2

e

，設函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，
∴當x∈（0，

1

e

）時，g′（x）＜0；當x∈（

1

e

，+∞）時，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，

1

e

）上單調遞減，在（

1

e

，+∞）上單調遞增，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（

1

e

）=-

1

e

．
設函數(shù)h（x）=xe^-x-

2

e

，則h′（x）=e^-x（1-x）．
∴當x∈（0，1）時，h′（x）＞0；當x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，
故h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=-

1

e

．
綜上，當x＞0時，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式等，考查轉化思想，考查學生分析解決問題的能力．