Question

若實(shí)數(shù)u，v，s，t滿足（v+u²-3lnu）²+（s-t+2）²=0，則

3	(u-s)2+(v-t)2

的最小值為（　�。�

• A、

  5	2

• B、

  2

• C、2
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合

分析：由題意先求

(u-s)2+(v-t)2

的最小值，轉(zhuǎn)化為曲線y=-x²+3lnx上點(diǎn)到直線l：x-y+2=0上點(diǎn)的距離的最小值，作圖可得點(diǎn)M到直線l的距離為d，代入要求的式子化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：∵

(u-s)2+(v-t)2

表示點(diǎn)（u，v）與（s，t）之間的距離，
∴先求

(u-s)2+(v-t)2

的最小值．
由（v+u²-3lnu）²+（s-t+2）²=0可知v=-u²+3lnu，s-t+2=0，
即點(diǎn)（u，v），（s，t）分別是曲線y=-x²+3lnx與直線x-y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，
∴要求

(u-s)2+(v-t)2

的最小值，只要求曲線y=-x²+3lnx上點(diǎn)到直線l：x-y+2=0上點(diǎn)的距離的最小值，
如圖所示：

設(shè)曲線y=-x²+3lnx在點(diǎn)M（m，n）處的切線l′與直線l平行，則y′=-2x+

3

x

，
∴-2m+

3

m

=1，解得m=1或m=-

3

2

（舍），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-1），則點(diǎn)M到直線l的距離為d=

|1-(-1)+2|

2

=2

2

，
∴

3	(u-s)2+(v-t)2

的最小值為

2	(2 2 )2

=2
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)形結(jié)合的思想，涉及距離公式和曲線的切線，屬中檔題．