Question

一個(gè)多面體的直觀圖、正（主）視圖、側(cè)（左）視圖、俯視圖如圖，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點(diǎn)．

下列結(jié)論中正確的是

 

．（填上所有正確項(xiàng)的序號(hào)）
①線MN與A₁C 相交；②MN⊥BC；③MN∥平面ACC₁A₁；④三棱錐N-A₁BC的體積為V N-A1BC=

1

6

a³．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖,命題的真假判斷與應(yīng)用,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：取A₁B₁的中點(diǎn)D，連結(jié)DM、DN．根據(jù)中位線定理，線面平行的判定定理和面面平行的判斷定理，可得平面DMN∥平面A₁AC₁C，可判斷①，③；由三視圖可得A₁C₁⊥平面BCC₁B₁，即DN⊥平面BCC₁B₁，即DN⊥BC，進(jìn)而由線面垂直的判定定理得到BC⊥平面DMN，再由線面垂直的性質(zhì)，可判斷②；利用等積法，求出棱錐的體積，可判斷④．

解答： 解：取A₁B₁的中點(diǎn)D，連結(jié)DM、DN．
由于M、N分別是所在棱的中點(diǎn)，
所以可得DN∥A₁C₁，DN?平面A₁AC₁C，A₁C₁?平面A₁AC₁C，所以DN∥平面A₁AC₁C．
同理可證DM∥平面A₁AC₁C．
又∵DM∩DN=D，
所以平面DMN∥平面A₁AC₁C，
所以直線MN與A₁C 相交不成立，①錯(cuò)誤；
由三視圖可得A₁C₁⊥平面BCC₁B₁．
所以DN⊥平面BCC₁B₁，
所以DN⊥BC，
又易知DM⊥BC，
所以BC⊥平面DMN，
所以BC⊥MN，②正確；
由①中，平面DMN∥平面A₁AC₁C，
可得：③正確；
因?yàn)閂 N-A1BC=VA1-NBC=

1

3

(

1

2

a2)a=

1

6

a³，所以④正確．
綜上，②③④正確．
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題以三視圖為載體，考查了空間線面關(guān)系的判定與證明，棱錐的體積，命題的真假判斷，綜合性強(qiáng)，難度中檔．