Question

在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病，為此要抽N個(gè)人的血，可以用兩種方法進(jìn)行．（1）將每個(gè)人的血分別去驗(yàn)，這就需N次．（2）按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把從k個(gè)人抽出來的血混在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果這混合血液呈陰性反應(yīng)，就說明k個(gè)人的血液都呈陰性反應(yīng)，這樣，這k個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次．若呈陽性，則再對這k個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)．這樣，這k個(gè)人的血總共要化驗(yàn)k+1次．假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽性的概率為p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的．
（Ⅰ）設(shè)以k個(gè)人為一組時(shí)，記這k個(gè)人總的化驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）設(shè)以k個(gè)人為一組，從每個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)的角度說明，若p=0.1，選擇適當(dāng)?shù)膋，按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)，并說明k取什么值時(shí)最適宜．（取ln0.9=-0.105）

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）k個(gè)人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為（1-p）^k，呈陽性結(jié)果的概率為1-（1-p）^k，可得X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）由題意，f（k）=1-0.9^k+

1

k

小于1且取得最小值時(shí)，就能得到最好的分組方法．

解答： 解：（Ⅰ）k個(gè)人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為（1-p）^k，呈陽性結(jié)果的概率為1-（1-p）^k．

X	1	k+1
P	（1-p）k	1-（1-p）k

∴EX=k[1-（1-p）^k]+1                       …（6分）
（Ⅱ）由題意，f（k）=1-0.9^k+

1

k

小于1且取得最小值時(shí)，就能得到最好的分組方法．
∵f′（3）=-0.035＜0，f′（4）=0.006＞0
且f（3）＞f（4），∴k=4最適宜                                           …（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，同時(shí)考查了離散型變量的數(shù)學(xué)期望以及計(jì)算能力，屬于中檔題．