如圖,在四棱錐P-ABCD中 PA⊥底面ABCD,PC⊥CD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,PA=AB=BC=3.
(1)求異面直線PB與CD所成的角;
(2)在PB上是否存在點(diǎn)E,是PD∥平面EAC?若存在,求出E點(diǎn)的位置,若不存在,說明理由.
考點(diǎn):直線與平面平行的性質(zhì),異面直線及其所成的角
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線PB與CD所成的角.
(2)PB上存在點(diǎn)E,使PD∥平面EAC,設(shè)
PE
PB
,0<λ<1,E(a,b,c),從而E(3λ,0,3-3λ),由此利用向量法能求出在PB上存在點(diǎn)E,使PD∥面EAC,且
PE
=
2
3
PB
解答: 解:(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則P(0,0,3),B(3,0,0),C(3,3,0),
設(shè)D(0,y,0),則
PC
=(3,3,-3),
CD
=(-3,y-3,0),
∵PC⊥CD,∴
pC
CD
=-9+3y-9=0,解得y=6,
∴AD=6,D(0,6,0),
PB
=(3,0,-3),
CD
=(-3,3,0),
∴|os<
PB
,
CD
>|
=|
PB
CD
|
PB
|•|
CD
|
|=|
-9
18
18
|=
1
2

∴異面直線PB與CD所成的角為60°.
(2)PB上存在點(diǎn)E,使PD∥平面EAC.
設(shè)
PE
PB
,0<λ<1,E(a,b,c),
即(a,b,c-3)=(3λ,0,-3λ),
∴E(3λ,0,3-3λ),
AE
=(3λ,0,3-3λ),
AC
=(3,3,0),
設(shè)平面AEC的法向量
n
=(x,y,z)
,則
n
AE
=3λx+(3-3λ)z=0
n
AC
=3x+3y=0

取x=1,得
n
=(1,-1,
3λ-3
),
PD
=(0,6,-3),
∵PD∥平面EAC,∴
PD
n
=0-6-3×
3λ-3
=0,
解得λ=
2
3
,
∴在PB上存在點(diǎn)E,使PD∥面EAC,且
PE
=
2
3
PB
點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線所成的角的求法,考查在PB上是否存在點(diǎn)E,是PD∥平面EAC的判斷與求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.
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A、大拇指B、食指
C、中指D、無名指

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雙曲線
x2
2
-
y2
2
=1的實(shí)軸長為
 

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π
6
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1
x
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B、在(-2,+∞)上是減函數(shù)
C、在(2,+∞)上是增函數(shù)
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.
B
發(fā)生的概率為
 

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D、
1
a
1
b

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A、①②③B、①③④
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