Question

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
（1）求f（x）的最小正周期和最大值及取得最大值時變量x的取值集合；
（2）求f（x）的單增區(qū)間．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）運用兩角和的正弦公式及二倍角公式，化簡f（x），再由周期公式和正弦函數(shù)的最值，即可得到；
（2）由正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式，即可得到所求區(qū)間．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+

π

6

）-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
則f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，
當2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=kπ+

π

6

，k∈Z，f（x）取得最大值2，
則f（x）取得最大值時變量x的取值集合為{x|x=kπ+

π

6

，k∈Z}；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
即有f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查兩角和的正弦公式和二倍角公式的運用，考查三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，以及最值，考查運算能力，屬于基礎題．