Question

【題目】如圖，已知圓E：（x+ ）2+y2=16，點(diǎn)F（ ，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

（1）求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（2）設(shè)直線l與（1）中軌跡Γ相交于A，B兩點(diǎn)，直線AO，l，OB的斜率分別為k1 ， k，k2（其中k＞0），若k1 ， k，k2恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，

則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ，

故動點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓．

設(shè)其方程為 ，可知a=2， ，則b=1，

所以點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程為

（2）解：設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（其中k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），

將直線l的方程代入橢圓方程，消去y整理得：

（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，且△=16（1+4k2﹣m2）＞0，

∵k1，k，k2恰好構(gòu)成公比不為1的等比數(shù)列，

∴k2=k1k2= ，

即k2 =k2 +km（﹣ ）+m2，

整理得：m2﹣4k2m2=0，

∵m≠0，

∴k= 或k=﹣ （舍）

【解析】（1）通過線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q，利用橢圓的定義求動點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；（2）通過設(shè)直線l的方程為：y=kx+m（其中k＞0），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立直線與橢圓方程、利用韋達(dá)定理可知x1+x2=﹣ ，x1x2= ，△=16（1+4k2﹣m2）＞0，利用k2=k1k2代入化簡計(jì)算即得結(jié)論．