Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，討論方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)．
（3）若a＞0，且對任意的x1 ， x2∈[1，e]，都有 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣4時(shí)，f（x）=﹣4lnx+x2，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．

．

當(dāng)x∈ 時(shí)，f′（x）0，

所以函數(shù)f（x）在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，

由f（1）=﹣4ln1+12=1，f（e）=﹣4lne+e2=e2﹣4，

所以函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為e2﹣4，相應(yīng)的x值為e

（2）解：由f（x）=alnx+x2，得 ．

若a≥0，則在[1，e]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)，

由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；

若a＜0，由f′（x）=0，得x= （舍），或x= ．

若 ，即﹣2≤a＜0，f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)，

由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；

若 ，即a≤﹣2e2，f（x）=alnx+x2在[1，e]上為減函數(shù)，

由f（1）=1，f（e）=alne+e2=e2+a≤﹣e2＜0，

所以方程f（x）=0在[1，e]上有1個(gè)實(shí)數(shù)根；

若 ，即﹣2e2＜a＜﹣2，

f（x）在 上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，

由f（1）=1＞0，f（e）=e2+a．

= ．

當(dāng) ，即﹣2e＜a＜﹣2時(shí)， ，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是0．

當(dāng)a=﹣2e時(shí)，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1．

當(dāng)﹣e2≤a＜﹣2e時(shí)， ，f（e）=a+e2≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是2．

當(dāng)﹣2e2＜a＜﹣e2時(shí)， ，f（e）=a+e2＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1

（3）解：若a＞0，由（2）知函數(shù)f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)，

不妨設(shè)x1＜x2，則 變?yōu)閒（x2）+ ＜f（x1）+ ，由此說明函數(shù)G（x）=f（x）+ 在[1，e]單調(diào)遞減，所以G′（x）= ≤0對x∈[1，e]恒成立，即a 對x∈[1，e]恒成立，

而 在[1，e]單調(diào)遞減，所以a ．

所以，滿足a＞0，且對任意的x1，x2∈[1，e]，都有 成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍不存在

【解析】（1）把a(bǔ)=﹣4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；（2）把原函數(shù)f（x）=alnx+x2求導(dǎo)，分a≥0和a＜0討論函數(shù)的單調(diào)性，特別是當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和F（e）的值的符號討論在x∈[1，e]時(shí)，方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)；（3）a＞0判出函數(shù)f（x）=alnx+x2在[1，e]上為增函數(shù)，在規(guī)定x1＜x2后把 轉(zhuǎn)化為f（x2）+ ＜f（x1）+ ，構(gòu)造輔助函數(shù)G（x）=f（x）+ ，由該輔助函數(shù)是減函數(shù)得其導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，分離a后利用函數(shù)單調(diào)性求a的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值，以及對不等式的證明的理解，了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等．