【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側面ABB1A1為矩形,AB=1,AA1= ,D為AA1的中點,BD與AB1交于點O,CO⊥側面ABB1A1 .
(1)證明:BC⊥AB1;
(2)若OC=OA,求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:由題意,因為ABB1A1是矩形,
D為AA1中點,AB=1,AA1= ,AD= ,
所以在直角三角形ABB1中,tan∠AB1B= ,
在直角三角形ABD中,tan∠ABD= ,
所以∠AB1B=∠ABD,
又∠BAB1+∠AB1B=90°,∠BAB1+∠ABD=90°,
所以在直角三角形ABO中,故∠BOA=90°,
即BD⊥AB1,
又因為CO⊥側面ABB1A1,AB1側面ABB1A1,
所以CO⊥AB1
所以,AB1⊥面BCD,
因為BC面BCD,
所以BC⊥AB1.
(2)解:如圖,分別以OD,OB1,OC所在的直線為x,y,z軸,以O為原點,建立空間直角坐標系,則A(0,﹣ ,0),B(﹣ ,0,0),C(0,0, ),B1(0, ,0),D( ,0,0),
又因為 =2 ,所以
所以 =(﹣ , ,0), =(0, , ), =( ),
設平面ABC的法向量為 =(x,y,z),
則根據(jù) 可得 =(1, ,﹣ )是平面ABC的一個法向量,
設直線C1D與平面ABC所成角為α,則sinα= .
【解析】(1)要證明BC⊥AB1 , 可證明AB1垂直于BC所在的平面BCD,已知CO垂直于側面ABB1A1 , 所以CO垂直于AB1 , 只要在矩形ABB1A1內(nèi)證明BD垂直于AB1即可,可利用角的關系加以證明;(2)分別以OD,OB1 , OC所在的直線為x,y,z軸,以O為原點,建立空間直角坐標系,求出 ,平面ABC的一個法向量,利用向量的夾角公式,即可得出結論.
【考點精析】掌握空間角的異面直線所成的角和用空間向量求直線與平面的夾角是解答本題的根本,需要知道已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則;設直線的方向向量為,平面的法向量為,直線與平面所成的角為,與的夾角為, 則為的余角或的補角的余角.即有:.
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【題目】已知直線l過點M(1,1),且與x軸,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點,O為坐標原點.求:
(1)當|OA|十|OB|取得最小值時,直線l的方程;
(2)當|MA|2+|MB|2取得最小值時,直線l的方程.
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【題目】設y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1+x)=f(1﹣x),當0≤x≤1時,f(x)=2﹣x , 則f(3)= .
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【題目】如圖,已知圓E:(x+ )2+y2=16,點F( ,0),P是圓E上任意一點.線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q.
(1)求動點Q的軌跡Γ的方程;
(2)設直線l與(1)中軌跡Γ相交于A,B兩點,直線AO,l,OB的斜率分別為k1 , k,k2(其中k>0),若k1 , k,k2恰好構成公比不為1的等比數(shù)列,求k的值.
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【題目】如圖,直角坐標系x′Oy所在的平面為β,直角坐標系xOy所在的平面為α,且二面角α﹣y軸﹣β的大小等于30°.已知β內(nèi)的曲線C′的方程是3(x﹣2 )2+4y2﹣36=0,則曲線C′在α內(nèi)的射影在坐標系xOy下的曲線方程是 .
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,則f(2)等于( )
A.11或18
B.11
C.18
D.17或18
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【題目】設函數(shù)f(x)=ax3﹣3x+1(x∈R),若對于任意的x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的值為 .
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【題目】為了了解小學生的體能情況,抽取了某校一個年級的部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得的數(shù)據(jù)整理后,畫頻率分布直方圖.已知圖中橫軸從左向右的分組為[50,75)、[75,100)、[100,125)、[125,150],縱軸前3個對應值分別為0.004、0.01、0.02,因失誤第4個對應值丟失.
(Ⅰ) 已知第1小組頻數(shù)為10,求參加這次測試的人數(shù)?
(Ⅱ) 求第4小組在y軸上的對應值;
(Ⅲ) 若次數(shù)在75次以上 ( 含75次 ) 為達標,試估計該年級跳繩測試達標率是多少?
(Ⅳ) 試估計這些數(shù)據(jù)的中位數(shù).
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【題目】設數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an+2n= (an+1+1),n∈N* , 且a1=1,求證:
(1)數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn .
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