【題目】已知函數(shù).
(1)當時,討論函數(shù)的單調性.
(2)若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍.
【答案】(1)答案見詳解;(2)
【解析】
(1)計算,討論以及,然后根據(jù)的符號得出原函數(shù)的單調性.
(2)根據(jù)(1)的結果,利用函數(shù)的極值的符號,可得結果.
(1)函數(shù)的定義域為
由,
所以
由,
當時,則
所以函數(shù)在單調遞增
當時,
令,則或
令,則
所以函數(shù)在單調遞增,在單調遞減
當時
令,則或
令,則
所以函數(shù)在單調遞增,在單調遞減
(2)由(1)可知
當時,
若時,;若時,
所以函數(shù)在單調遞減,在單調遞增
且,由函數(shù)有兩個零點
所以
當時,函數(shù)在單調遞增,不符合題意
當時,
函數(shù)在單調遞增,在單調遞減
函數(shù)的極大值為
令
則,由,所以
所以在單調遞增,
所以
故函數(shù)有1個零點,不符合題意
當時,
函數(shù)在單調遞增,在單調遞減
函數(shù)的極大值為
所以函數(shù)有1個零點,不符合題意
綜上所述:
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著生活水平的提高和人們對健康生活的重視,越來越多的人加入到健身運動中.國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)顯示,2019年有4億國人經(jīng)常參加體育鍛煉.某健身房從參與健身的會員中隨機抽取100人,對其每周參與健身的天數(shù)和2019年在該健身房所有消費金額(單位:元)進行統(tǒng)計,得到以下統(tǒng)計表及統(tǒng)計圖:
平均每周健身天數(shù) | 不大于2 | 3或4 | 不少于5 |
人數(shù)(男) | 20 | 35 | 9 |
人數(shù)(女) | 10 | 20 | 6 |
若某人平均每周進行健身天數(shù)不少于5,則稱其為“健身達人”.該健身房規(guī)定消費金額不多于1600元的為普通會員,超過1600元但不超過3200元的為銀牌會員,超過3200元的為金牌會員.
(1)已知金牌會員都是健身達人,現(xiàn)從健身達人中隨機抽取2人,求他們均是金牌會員的概率;
(2)能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關系?
(3)該健身機構在2019年年底針對這100位消費者舉辦一次消費返利活動,現(xiàn)有以下兩種方案:
方案一:按分層抽樣從普通會員、銀牌會員和金牌會員中共抽取25位“幸運之星”,分別給予188元,288元,888元的幸運獎勵;
方案二:每位會員均可參加摸獎游戲,游戲規(guī)則如下:摸獎箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片,其中3張印跑步機圖案、2張印動感單車圖案,有放回地摸三次卡片,每次只能摸一張,若摸到動感單車的總數(shù)為2,則獲得100元獎勵,若摸到動感單車的總數(shù)為3,則獲得200元獎勵,其他情況不給予獎勵.規(guī)定每個普通會員只能參加1次摸獎游戲,每個銀牌會員可參加2次摸獎游戲,每個金牌會員可參加3次摸獎游戲(每次摸獎結果相互獨立).
請你比較該健身房采用哪一種方案時,在此次消費返利活動中的支出較少,并說明理由.
附:,其中為樣本容量.
0.50 | 0.25 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
0.455 | 1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.636 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在多邊形中,四邊形為等腰梯形,,,,四邊形為直角梯形,,.以為折痕把等腰梯形折起,使得平面平面,如圖2所示.
(1)證明:平面.
(2)求直線與平面所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】企業(yè)為了監(jiān)控某種零件的一條流水生產線的產品質量,檢驗員從該生產線上隨機抽取100個零件,測量其尺寸(單位:)并經(jīng)過統(tǒng)計分析,得到這100個零件的平均尺寸為10,標準差為0.5.企業(yè)規(guī)定:若,該零件為一等品,企業(yè)獲利20元;若且,該零件為二等品,企業(yè)獲利10元;否則,該零件為不合格品,企業(yè)損失40元.
(1)在某一時刻內,依次下線10個零件,如果其中出現(xiàn)了不合格品,就認為這條生產線在這一天的生產過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當天的生產過程進行檢查若這10個零件的尺寸分別為9.6,10.5,9.8,10.1,10.7,9.4,10.9,9.5,10,10.9,則從這一天抽檢的結果看,是否需要對當天的生產過程進行檢查?
(2)將樣本的估計近似地看作總體的估計通過檢驗發(fā)現(xiàn),該零件的尺寸服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差.
(i)從下線的零件中隨機抽取20件,設其中為合格品的個數(shù)為,求的數(shù)學期望(結果保留整數(shù))
(ii)試估計生產10000個零件所獲得的利潤.
附:若隨機變量服從正態(tài)分布,則,,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設橢圓的左焦點為,右頂點為,離心率為.已知是拋物線的焦點, 到拋物線的準線的距離為.
(I)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(II)設上兩點, 關于軸對稱,直線與橢圓相交于點(異于點),直線與軸相交于點.若的面積為,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)對任意的,均有,則稱函數(shù)具有性質.
(1)判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質,并說明理由.①;②.
(2)若函數(shù)具有性質,且,求證:對任意有;
(3)在(2)的條件下,是否對任意均有.若成立給出證明,若不成立給出反例.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校開展學生社會法治服務項目,共設置了文明交通,社區(qū)服務,環(huán)保宣傳和中國傳統(tǒng)文化宣講四個項目,現(xiàn)有該校的甲、乙、丙、丁4名學生,每名學生必須且只能選擇1項.
(1)求恰有2個項目沒有被這4名學生選擇的概率;
(2)求“環(huán)保宣傳”被這4名學生選擇的人數(shù)的分布列及其數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,為正三角形,,,,點在線段的中點,點為線段的中點.
(1)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,指出點的位置;若不存在,請說明理由.
(2)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,是拋物線的焦點,過點且與坐標軸不垂直的直線交拋物線于、兩點,交拋物線的準線于點,其中,.過點作軸的垂線交拋物線于點,直線交拋物線于點.
(1)求的值;
(2)求四邊形的面積的最小值.
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