Question

如圖，正四棱錐P-ABCD的高為PO，PO=AB=2．E，F(xiàn)分別是棱PB，CD的中點(diǎn)，Q是棱PC上的點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若PC⊥平面QDB，求PQ．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取PA中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MD，根據(jù)中位線的性質(zhì)知ME∥AB，DF∥AB，進(jìn)而推斷出ME∥DF，利用ME=

1

2

AB，DF=

1

2

AB，推斷出ME=DF，進(jìn)而可證明出四邊形EFDM是平行四邊形，知EF∥MD，最后由線面的判定定理證明出EF∥平面PAD．
（2）連結(jié)OQ，利用線面垂直性質(zhì)推斷出分別推斷出PC⊥OQ，PO⊥OC，由正方形的邊長(zhǎng)得到OC，然后利用勾股定理求得PC，最后求得PQ．

解答： （1）證明：取PA中點(diǎn)M，連結(jié)ME，MD，
由條件，得ME∥AB，DF∥AB，
∴ME∥DF，
且ME=

1

2

AB，DF=

1

2

AB，
∴ME=DF，
∴四邊形EFDM是平行四邊形．
則EF∥MD，
由MD?平面PAD，EF不屬于面PAD，
∴EF∥平面PAD．
（2）連結(jié)OQ，
∵PC⊥平面QDB，OQ?平面QDB，
∴PC⊥OQ，
∵PO⊥平面ABCD，OC?平面ABCD，
∴PO⊥OC，
∵PO=2，
∴PC=

OP2+OC2

=

6

則PQ=PO•cos∠CPO=2•

2

6

=

2 6

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行和線面垂直的性質(zhì)和判定定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生空間觀察能力和基礎(chǔ)的綜合運(yùn)用．