Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₃=12，S₃=36．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}公比為q，由題意可得首項(xiàng)和公比的方程組，解方程組由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得；
（2）由（1）可得{na_n}的通項(xiàng)公式，分別由等差數(shù)列的求和公式和錯(cuò)位相減法可得S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}公比為q，
由a₃=12，S₃=36得a₃=12，a₁+a₂=24，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

a1q2=12 a1+a1q=24

，
解得

a1=12 q=1

或

a1=48 q=- 1 2

，
∴a_n=12，或an=48×(-

1

2

)n-1；
（2）當(dāng)a_n=12時(shí)，na_n=12n，
由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可得Sn=

n(12+12n)

2

=6n2+6n；
當(dāng)an=48×(-

1

2

)n-1時(shí)，nan=48n(-

1

2

)n-1，
∴

Sn=48[1+2×(- 1 2 )+3×(- 1 2 )2+…+  n(- 1 2 )n-1]

①，
①×（-

1

2

）可得

- 1 2 Sn=48[1×(- 1 2 )+2×(- 1 2 )2+…+(n-1)(- 1 2 )n-1+n(- 1 2 )n]

②
兩式做差得：

3

2

Sn=48[1-((-

1

2

)+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1)-n(-

1

2

)n]
=48[1-

(- 1 2 )(1-(- 1 2 )n-1)

1-(- 1 2 )

-n(-

1

2

)n]=64-16(-

1

2

)n-1-48n(-

1

2

)n，
∴S_n=

128

3

-

32

3

(-

1

2

)n-1-32(-

1

2

)n

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，屬中檔題．