Question

用白鐵皮做一個平底、圓錐形蓋的圓柱形糧囤，糧囤容積為（8+8

2

）πm³（不含錐形蓋內(nèi)空間），蓋子的母線與底面圓半徑的夾角為45°，設(shè)糧囤的底面圓半徑為Rm，需用白鐵皮的面積記為S（R）m²（不計接頭等）．
（1）將S（R）表示為R的函數(shù)；
（2）求S（R）的最小值及對應(yīng)的糧囤的總高度．（含圓錐頂蓋）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)最值的應(yīng)用,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求需要的鐵皮的面積，實(shí)際上是求圓柱體的表面積，又因圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2，代入數(shù)據(jù)即可求解；即可將S（R）表示為R的函數(shù)；
（2）求出S（R）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)值為0判斷函數(shù)的最小值，即可求解糧囤的總高度．（含圓錐頂蓋）

解答： 解：（1）S(R)=2πRh+πR2+

1

2

•2πR•

2

R=2πR•

V

πR2

+(1+

2

)πR2
=

2V

R

+(1+

2

)πR2=

16(1+ 2 )

R

+(1+

2

)πR2（R＞0）…（7分）
（2）S′(R)=-

16(1+ 2 )

R2

+2(1+

2

)πR，
令S'（R）=0，得R=2…（10分）
當(dāng)R＞2時，S'（R）＞0，
當(dāng)R＜2時S'（R）＜0，
∴當(dāng)R=2時，S（R）取得極小值也是最小值，且S(R)min=S(2)=8(1+

2

)π，…（13分）
此時圓柱的高為2(1+

2

)，圓錐蓋的高為

2

，
∴糧囤的總高度為(2+3

2

)m…（15分）
答：（1）

2V

R

S(R)=

16(1+ 2 )

R

+(1+

2

)πR2；（2）S(R)min=S(2)=8(1+

2

)π，對應(yīng)糧囤的總高度為(2+3

2

)m．…（16分）．

點(diǎn)評：此題主要考查圓柱體的表面積和體積的計算方法在實(shí)際生活中的應(yīng)用．考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的最值中的應(yīng)用．