【題目】已知橢圓:的右焦點為點的坐標為,為坐標原點,是等腰直角三角形.

(1)求橢圓的方程;

(2)經(jīng)過點作直線交橢圓兩點,求面積的最大值;

(3)是否存在直線交橢圓于兩點,使點的垂心(垂心:三角形三邊高線的交點)?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

1)由是等腰直角三角形,可得,從而可得橢圓方程;
2)設(shè)過點的直線的方程為的橫坐標分別為,求出的最大值,即可求得面積的最大值;
3)假設(shè)存在直線交橢圓于兩點,且使點的垂心,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,利用韋達定理結(jié)合,即可求得結(jié)論.

解:(1)由是等腰直角三角形,可得,

故橢圓方程為;
2)設(shè)過點的直線的方程為,的橫坐標分別為,
將線的方程為代入橢圓方程,

消元可得,

,


,
,則
,則(當且僅當時取等號)
面積,

∴△AOB面積的最大值為;
3)假設(shè)存在直線交橢圓于兩點,且使點的垂心,
設(shè),
因為,所以
于是設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,

消元可得
,得,且,

由題意應(yīng)有,所以,
所以
整理得
解得
經(jīng)檢驗,當時,不存在,故舍去.
時,所求直線存在,且直線l的方程

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱柱中,側(cè)面是為菱形,在平面內(nèi)的射影恰為線段的中點.

1)求證:

2)若,,求二面角的平面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)O為坐標原點,動點M在橢圓C上,該橢圓的左頂點A到直線的距離為

求橢圓C的標準方程;

若線段MN平行于y軸,滿足,動點P在直線上,滿足證明:過點N且垂直于OP的直線過橢圓C的右焦點F

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標系中,橢圓的左、右焦點分別為,離心率.的直線與橢圓相交于兩點,且的周長為.

1)求橢圓的方程;

2)若點位于第一象限,且,求的外接圓的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從某大學(xué)中隨機選取7名女大學(xué)生,其身高x(單位:cm)和體重y(單位:kg)數(shù)據(jù)如下表:

編號

1

2

3

4

5

6

7

身高x

163

164

165

166

167

168

169

體重y

52

52

53

55

54

56

56

1)求y關(guān)于x的回歸方程;

2)利用(1)中的回歸方程,分析這7名女大學(xué)生的身高和體重的變化,并預(yù)報一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了慶祝第一個農(nóng)民豐收節(jié),西部山區(qū)某村統(tǒng)計了自2011年以來每年的年總收入,其中2018年統(tǒng)計的是1月到8月的總收入,統(tǒng)計結(jié)果如圖所示.根據(jù)圖形,下列四個判斷中,錯誤的是(

A.2012年起,年總收入逐年增加B.2017年的年總收入在2016年的基礎(chǔ)上翻了番

C.年份數(shù)與年總收入成正相關(guān)D.由圖可預(yù)測從2014年起年總收入增長加快

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知正所在平面垂直平面,且邊在平面內(nèi),過、分別作兩個平面、(與正所在平面不重合),則以下結(jié)論錯誤的是( )

A.存在平面與平面,使得它們的交線和直線所成角為

B.直線與平面所成的角不大于

C.平面與平面所成銳二面角不小于

D.平面與平面所成銳二面角不小于

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知拋物線,焦點為,直線交拋物線兩點,是線段的中點,過軸的垂線交拋物線于點.

1)求拋物線的焦點坐標;

2)若拋物線上有一點到焦點的距離為,求此時的值;

3)是否存在實數(shù),使是以為直角頂點的直角三角形?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】4名男同學(xué)中選出2人,6名女同學(xué)中選出3人,并將選出的5人排成一排.

1)共有多少種不同的排法?

2)若選出的2名男同學(xué)不相鄰,共有多少種不同的排法?(用數(shù)字表示)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案