Question

【題目】已知函數(shù)，，其中且，．

（1）若函數(shù)f(x)與g(x)有相同的極值點（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值），求k的值；

（2）當m>0，k = 0時，求證：函數(shù)有兩個不同的零點；

（3）若，記函數(shù)，若，使，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）詳見解析；（3）或．

【解析】

（1）分別求得與的極值點，利用極值點相同構(gòu)造方程，求得；（2）首先求得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；再通過零點存在定理，分別在兩段區(qū)間找到零點所在大致區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可知僅有這兩個不同零點；（3）根據(jù)已知關(guān)系，將問題變?yōu)椋?/span>，又，則可分別在，，三個范圍內(nèi)去求解最值，從而求解出的范圍.

（1）因為，所以

令，得

當時，，則單調(diào)遞減；

當時，，則單調(diào)遞增；

所以為的極值點

因為，，所以函數(shù)的極值點為

因為函數(shù)與有相同的極值點，所以

所以

（2）由題意，所以

因為，所以

令，得

當時，，則單調(diào)遞減；

當時，，則單調(diào)遞增；

所以為的極值點

因為，，又在上連續(xù)且單調(diào)

所以在上有唯一零點

取滿足且

則

因為且，所以

所以，又在上連續(xù)且單調(diào)

所以在上有唯一零點

綜上，函數(shù)有兩個不同的零點

（3）時，

由，使，則有

由于

①當時，，在上單調(diào)遞減

所以

即，得

②當時，，在上單調(diào)遞增

所以

即，得

③當時，

在上，，在上單調(diào)遞減；

在上，，在上單調(diào)遞增；

所以

即（*）

易知在上單調(diào)遞減

故，而，所以不等式（*）無解

綜上，實數(shù)的取值范圍為或