Question

【題目】已知函數(shù)，，其中且，．

（1）若函數(shù)f(x)與g(x)有相同的極值點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對應(yīng)的自變量的值），求k的值；

（2）當(dāng)m>0，k = 0時(shí)，求證：函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

（3）若，記函數(shù)，若，使，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）詳見解析；（3）或．

【解析】

（1）分別求得與的極值點(diǎn)，利用極值點(diǎn)相同構(gòu)造方程，求得；（2）首先求得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；再通過零點(diǎn)存在定理，分別在兩段區(qū)間找到零點(diǎn)所在大致區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可知僅有這兩個(gè)不同零點(diǎn)；（3）根據(jù)已知關(guān)系，將問題變?yōu)椋?/span>，又，則可分別在，，三個(gè)范圍內(nèi)去求解最值，從而求解出的范圍.

（1）因?yàn)?/span>，所以

令，得

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

所以為的極值點(diǎn)

因?yàn)?/span>，，所以函數(shù)的極值點(diǎn)為

因?yàn)楹瘮?shù)與有相同的極值點(diǎn)，所以

所以

（2）由題意，所以

因?yàn)?/span>，所以

令，得

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；

所以為的極值點(diǎn)

因?yàn)?/span>，，又在上連續(xù)且單調(diào)

所以在上有唯一零點(diǎn)

取滿足且

則

因?yàn)?/span>且，所以

所以，又在上連續(xù)且單調(diào)

所以在上有唯一零點(diǎn)

綜上，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

（3）時(shí)，

由，使，則有

由于

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減

所以

即，得

②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增

所以

即，得

③當(dāng)時(shí)，

在上，，在上單調(diào)遞減；

在上，，在上單調(diào)遞增；

所以

即（*）

易知在上單調(diào)遞減

故，而，所以不等式（*）無解

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為或