Question

【題目】已知，.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)圖象在處的切線方程；

（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得函數(shù)圖象在處的切線方程為.（2）

先求導(dǎo)得，再對(duì)a分類討論得到的取值范圍.(3對(duì)a分類討論，結(jié)合極大值小于極小值求出的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則.

又因?yàn)?/span>，所以函數(shù)圖象在處的切線方程為，

即.

（2）因?yàn)?/span>

所以 ，

且.因?yàn)?/span>，所以.

①當(dāng)時(shí)，即，

因?yàn)?/span>在區(qū)間上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，

所以滿足條件.

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

由，得，

當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，

所以時(shí)，，這與時(shí)，恒成立矛盾.

所以不滿足條件.

綜上，的取值范圍為.

（3）①當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>在區(qū)間上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

所以不存在極值，所以不滿足條件.

②當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

由，得，

列表如下：

	↗	極大值	↘	極小值	↗

由于在是單調(diào)減函數(shù)，此時(shí)極大值大于極小值，不合題意，

所以不滿足條件.

③當(dāng)時(shí)，由，得.

列表如下：

	↘	極小值	↗

此時(shí)僅存在極小值，不合題意，

所以不滿足條件.

④當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

且，.

列表如下：

	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以存在極大值和極小值，

此時(shí)

因?yàn)?/span>，

所以，，，，

所以，即，

所以滿足條件.

綜上，所以的取值范圍為.