Question

在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，滿足b（b-

2

c）=a²-c²．且

AB

•

BC

≥0．
（1）求A的值；
（2）若a=

2

，求b-

2

c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專(zhuān)題：解三角形

分析：（1）利用已知條件通過(guò)正弦定理以及余弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角即可求A的值；
（2）通過(guò)向量的數(shù)量積結(jié)合A的值，判斷C的范圍，通過(guò)a=

2

，利用正弦定理化簡(jiǎn)b-

2

c為2cos（C+

π

4

），然后求解它的取值范圍．

解答： 解：（1）由b（b-

2

c）=a²-c²．可得，b²+c²-

2

bc=a²，…（2分）
于是cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

2

2

…（4分）
又A∈（0，π），所以A=

π

4

…（6分）
（2）∵

AB

•

BC

≥0，∴B為鈍角或直角，于是A+C≤

π

2

，又A=

π

4

，
∴0＜C≤

π

4

…（8分），
∵a=

2

，∴2R=

a

sinA

=

2

2 2

=2．
由正弦定理可知，b-

2

c=2RsinB-2

2

RsinC=2sin（

3π

4

-C）-2

2

sinC=2cos（C+

π

4

）…（10分）
又0＜C≤

π

4

，
∴

π

4

＜C+

π

4

≤

π

2

．
∴2cos（C+

π

4

）∈[0，

2

)…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，兩角和與差的三角函數(shù)，考查基本知識(shí)的應(yīng)用．