Question

已知函數(shù)g（x）=

x

lnx

，f（x）=x（2-a）

1

g(x)

+2ax+

1

x

（a＜0）．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）在（e，g（e））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）對于任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-21n3＞|f（x₁）-f（x₂）|，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：第（Ⅰ）問利用導數(shù)求切線的斜率，然后利用點斜式寫出切線方程；第（Ⅱ）問求單調(diào)區(qū)間要結(jié)合導數(shù)的形式，按參數(shù)a進行分類討論；第（Ⅲ）問要把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)g′（x）=

lnx-x• 1 x

(lnx)2

=

lnx-1

(lnx)2

，…1分
所以g′（e）=0，故切線的斜率為0，…2分
所求切線方程為y=g（e）=e…3分
（Ⅱ）f′（x）=

2-a

x

-

1

x2

+2a=

(ax+1)(2x-1)

x2

，…4分
①當a=-2時，f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，…5分
②當-2＜a＜0時，x∈（0，

1

2

）和（-

1

a

，+∞），f′（x）＜0，x∈（

1

2

，-

1

a

），f′（x）＞0，
f（x）在（0，

1

2

）和（-

1

a

，+∞）是減函數(shù)，在（

1

2

，-

1

a

）為增函數(shù)…7分
③當a＜-2時，f（x）在（0，-

1

a

）和（

1

2

，+∞）是減函數(shù)，在（-

1

a

，

1

2

）為增函數(shù)…9分
（Ⅲ）a∈（-3，-2），由（Ⅱ）可知f（x）在x∈[1，3]是減函數(shù)，…10分
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=

2

3

-4a+(a-2)ln3，…11分
根據(jù)任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-21n3＞|f（x₁）-f（x₂）|，
故只需（m+ln3）a-2ln3＞

2

3

-4a+(a-2)ln3對任意-3＜a＜-2恒成立…12分
即m＜-4+

2

3a

 任意-3＜a＜-2恒成立．
因為-

13

3

＜-4+

2

3a

＜-

38

9

，…13分
故m≤-

13

3

．

點評：本題綜合性較強，考查了導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求曲線的切線方程，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是把握好分類的標準；恒成立問題的解決一般要轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題．