已知橢圓的左、右焦點分別為，離心率為，P是橢圓上一點，且面積的最大值等于2．
(1)求橢圓的方程；
(2)過點M(0，2)作直線與直線垂直，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系5
(3)直線y=2上是否存在點Q，使得從該點向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由。

(1)  ;(2)相切；(3) 存在，.

解析試題分析：(1)通過橢圓性質(zhì)列出的方程，其中離心率,分析圖形知道當點P在短軸端點時，面積取得最大值，所以,橢圓中,從而建立關(guān)于的方程，解出;即得到橢圓的標準方程(2)列出過定點直線的方程，其與直線垂直，求出其斜率，聯(lián)立橢圓方程，得出，寫出關(guān)系；(3)對于存在性的問題，要先假設存在，先設存在這樣的點，,結(jié)合圖形知道要先討論,當時，明顯切線不垂直，當時，先設切線，與橢圓方程聯(lián)立，利用，得出關(guān)于斜率的方程，利用兩根之積公式，解出點坐標.即值.此題為較難題型，分類討論時要全面.
試題解析：(1)因為點在橢圓上，所以
因此當時，面積最大，且最大值為
又離心率為即
由于，解得
所求橢圓方程為.
(2)由(1)知,
直線的斜率等于，直線的方程，
由消去，整理得，
直線與橢圓相切.
(3)假設直線上存在點滿足題意，設，顯然當時，從點所引的兩條切線不垂直.
當時，設過點向橢圓所引的切線的斜率為，則的方程為
由消去，整理得：

所以，      *
設兩條切線的斜率分別為，顯然，是方程的兩根，故：
解得：，點坐標為或
因此，直線上存在兩點和滿足題意.
考點：1.橢圓的性質(zhì)與標準方程；2.直線垂直的判斷；3.存在性問題的求解;4.直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷.

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

己知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），點A（2，0）在橢圓C上，過F點的直線與橢圓C交于不同兩點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線斜率為1，求線段的長；
（3）設線段的垂直平分線交軸于點P（0，y0），求的取值范圍.

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已知橢圓的離心率為，左右焦點分別為，且.
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點的直線與橢圓相交于兩點，且，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知圓,若橢圓的右頂點為圓的圓心，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若存在直線，使得直線與橢圓分別交于兩點，與圓分別交于兩點，點在線段上，且，求圓的半徑的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,是橢圓的左、右頂點,橢圓的離心率為,右準線的方程為.

（1）求橢圓方程；
（2）設是橢圓上異于的一點,直線交于點,以為直徑的圓記為. ①若恰好是橢圓的上頂點,求截直線所得的弦長；
②設與直線交于點,試證明:直線與軸的交點為定點,并求該定點的坐標.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，橢圓的的一個頂點和兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為4，
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線與橢圓C交于A, B兩點，若點M（， 0），求證為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂在坐標原點，焦點到直線的距離是
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線與拋物線交于兩點，設線段的中垂線與軸交于點 ，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知線段MN的兩個端點M、N分別在軸、軸上滑動，且，點P在線段MN上，滿足，記點P的軌跡為曲線W．
(1)求曲線W的方程，并討論W的形狀與的值的關(guān)系；
(2)當時，設A、B是曲線W與軸、軸的正半軸的交點，過原點的直線與曲線W交于C、D兩點，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，右焦點為，右頂點在圓：上.
（Ⅰ）求橢圓和圓的方程；
（Ⅱ）已知過點的直線與橢圓交于另一點，與圓交于另一點.請判斷是否存在斜率不為0的直線，使點恰好為線段的中點，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.

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